Q18: Considere os subespacos de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(-3,1,2),(2,-1,-3)\} \text { e } \\\ M=\operatorname{span}\{(-1,-7,1)\} . \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(-3, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é;
(A) -10
(B) -9
(C) -8
(D) -7
(E) -6
(F) -5
(G) -4
(H) -3

Passo 1

O enunciado nos dá os subespaços de \mathbb{R}^{3}:
H=\operatorname{span}\{(-3,1,2),(2,-1,-3)\}
e
M=\operatorname{span}\{(-1,-7,1)\}.
Pede-se: encontrar o único vetor \vec{x}\in M^{\perp}\cap H que tem a forma \vec{x}=\left(-3,x_{2},x_{3}\right). Em particular, determinar o valor de x_{3}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os geradores de H são \vec{v}_{1}=(-3,1,2) e \vec{v}_{2}=(2,-1,-3).
  • O gerador de M é \vec{m}=(-1,-7,1).
  • Queremos \vec{x} que pertença simultaneamente a H e a M^{\perp}, e que tenha primeira coordenada -3.

Passo 2

Entender o que significa \vec{x}\in H. Como H=\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}, qualquer vetor de H pode ser escrito como combinação linear dos geradores. Ou seja, existem escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
\vec{x}=a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}.
Vamos escrever essa combinação de forma explícita usando \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}:
\vec{x}=a(-3,1,2)+b(2,-1,-3).
Calculando coordenada a coordenada obtemos
\vec{x}=\left(-3a+2b,\; a-b,\; 2a-3b\right).

Passo 3

Usar a restrição de forma: \vec{x} deve ter primeira coordenada igual a -3. Portanto a primeira coordenada da expressão acima deve satisfazer
-3a+2b=-3.
Essa é uma equação linear que relaciona a e b. Não a resolvemos ainda; vamos obter outra equação pela condição de ortogonalidade.

Passo 4

Entender a condição \vec{x}\in M^{\perp}. Por definição, M^{\perp} é o conjunto dos vetores ortogonais a todo gerador de M. Como M é gerado pelo único vetor \vec{m}=(-1,-7,1), a condição \vec{x}\in M^{\perp} é:
\vec{x}\cdot\vec{m}=0,
onde `` \cdot’’ é o produto escalar usual em \mathbb{R}^{3}. Lembrete rápido sobre produto escalar: para \vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}) e \vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}) vale
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}.
Usando que \vec{x}=a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}, o produto escalar com \vec{m} é linear:
\vec{x}\cdot\vec{m}=a(\vec{v}_{1}\cdot\vec{m})+b(\vec{v}_{2}\cdot\vec{m}).
Vamos calcular \vec{v}_{1}\cdot\vec{m} e \vec{v}_{2}\cdot\vec{m}.

Passo 5

Calcular os produtos escalares componentes:
\vec{v}_{1}\cdot\vec{m}=(-3)(-1)+(1)(-7)+(2)(1)=3-7+2=-2,
\vec{v}_{2}\cdot\vec{m}=(2)(-1)+(-1)(-7)+(-3)(1)=-2+7-3=2.
Substituindo em \vec{x}\cdot\vec{m}=0 obtemos
a(-2)+b(2)=0.
Isso simplifica para
2(b-a)=0\quad\Rightarrow\quad b-a=0\quad\Rightarrow\quad b=a.

Passo 6

Agora resolvemos o sistema formado pelas equações obtidas:
\begin{cases} -3a+2b=-3,\\[4pt] b=a. \end{cases}
Substituindo b=a na primeira equação:
-3a+2a=-3 \quad\Rightarrow\quad -a=-3 \quad\Rightarrow\quad a=3.
Como b=a, segue b=3.]

Passo 7

Com a=3 e b=3 calculamos \vec{x}=a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}. Primeiro somamos \vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}:
\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}=(-3+2,\;1-1,\;2-3)=(-1,0,-1).
Multiplicando por 3 (pois a=b=3):
\vec{x}=3(\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2})=3(-1,0,-1)=(-3,0,-3).
Portanto a terceira coordenada de \vec{x} é -3.

Resposta

(H) -3

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