Q18: Considere os subespacos de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é;
(A) -10
(B) -9
(C) -8
(D) -7
(E) -6
(F) -5
(G) -4
(H) -3
(A) -10
(B) -9
(C) -8
(D) -7
(E) -6
(F) -5
(G) -4
(H) -3
Passo 1
O enunciado nos dá os subespaços de
:
e
Pede-se: encontrar o único vetor
que tem a forma
. Em particular, determinar o valor de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os geradores de
são e . - O gerador de
é . - Queremos
que pertença simultaneamente a e a , e que tenha primeira coordenada .
Passo 2
Entender o que significa
. Como
, qualquer vetor de
pode ser escrito como combinação linear dos geradores. Ou seja, existem escalares
tais que
Vamos escrever essa combinação de forma explícita usando
e
:
Calculando coordenada a coordenada obtemos
Passo 3
Usar a restrição de forma:
deve ter primeira coordenada igual a
. Portanto a primeira coordenada da expressão acima deve satisfazer
Essa é uma equação linear que relaciona
e
. Não a resolvemos ainda; vamos obter outra equação pela condição de ortogonalidade.
Passo 4
Entender a condição
. Por definição,
é o conjunto dos vetores ortogonais a todo gerador de
. Como
é gerado pelo único vetor
, a condição
é:
onde ``
’’ é o produto escalar usual em
. Lembrete rápido sobre produto escalar: para
e
vale
Usando que
, o produto escalar com
é linear:
Vamos calcular
e
.
Passo 5
Calcular os produtos escalares componentes:
Substituindo em
obtemos
Isso simplifica para
Passo 6
Agora resolvemos o sistema formado pelas equações obtidas:
Substituindo
na primeira equação:
Como
, segue
.]
Passo 7
Com
e
calculamos
. Primeiro somamos
:
Multiplicando por
(pois
):
Portanto a terceira coordenada de
é
.
Resposta
(H) -3