Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(3,2)=(-3,-3,1) e T(1,1)=(-2,2,-2).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} e pede a entrada a_{12} da matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
Informações dadas:
T(3,2)=(-3,-3,1)
e
T(1,1)=(-2,2,-2).
A pergunta é: qual é o valor da entrada a_{12} (ou seja, o elemento da primeira linha e segunda coluna da matriz A)? As alternativas vão de (A) até (H).

Passo 2

Explicação didática do que a informação significa (sem resolver ainda). Se escrevermos a matriz A em colunas, chamando
A=\begin{pmatrix} \;v\; & \;w\; \end{pmatrix},
onde v é a primeira coluna (vetor em \mathbb{R}^{3}) e w é a segunda coluna (vetor em \mathbb{R}^{3}), então para todo (x,y) vale
T(x,y)=x\,v+y\,w.
Em particular, as imagens de vetores dados se expressam em termos de v e w.

Passo 3

Usando a propriedade anterior, escrevemos as duas informações dadas em termos de v e w:
T(1,1)=1\cdot v + 1\cdot w = v+w = (-2,2,-2),
T(3,2)=3\cdot v + 2\cdot w = (-3,-3,1).
Essas são equações vetoriais em \mathbb{R}^{3} que nos permitem determinar v e w.

Passo 4

Resolvendo o sistema vetorial componente a componente. Vamos eliminar w ou v. Multiplicando a primeira equação por 2 obtemos
2v+2w = (-4,4,-4).
Agora subtraímos essa equação da equação 3v+2w=(-3,-3,1):
(3v+2w)-(2v+2w)=v = (-3,-3,1)-(-4,4,-4).

Passo 5

Calculemos a diferença componente a componente:
(-3,-3,1)-(-4,4,-4) = (-3+4,\;-3-4,\;1+4) = (1,-7,5).
Portanto encontramos
v = (1,-7,5).

Passo 6

Agora usamos v+w=(-2,2,-2) para obter w:
w = (-2,2,-2)-v = (-2,2,-2)-(1,-7,5).
Fazendo a subtração componente a componente:
w = (-2-1,\;2-(-7),\;-2-5) = (-3,9,-7).

Passo 7

A matriz A é formada pelas colunas v e w:
A=\begin{pmatrix} 1 & -3\\[4pt] -7 & 9\\[4pt] 5 & -7 \end{pmatrix}.
Aqui a entrada a_{12} é o elemento da primeira linha e segunda coluna, que é a primeira componente de w.]

Passo 8

Lendo da matriz acima, a primeira linha e segunda coluna vale
a_{12} = -3.
Conferência rápida (opcional): com v e w encontrados, v+w=(1-3,\,-7+9,\;5-7)=(-2,2,-2) e 3v+2w=(3-6,\,-21+18,\;15-14)=(-3,-3,1), que batem com os dados do enunciado.

Resposta

(A) -3

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