Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(2,-7) e \vec{v}=(-3,7). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(4,1) e [\vec{v}]_{\beta}=(1,2), então \vec{b}_{2} é:
(A) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 3\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 4\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 5\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 6\end{array}\right]
(E)
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 8\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 9\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{r}* \\\\ 10\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para não nos perder):
\beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} é uma base de \mathbb{R}^{2}.
\vec{u}=(2,-7) e \vec{v}=(-3,7) (essas são as coordenadas padrão desses vetores).
As coordenadas desses vetores na base \beta são
[\vec{u}]_{\beta}=(4,1) e [\vec{v}]_{\beta}=(1,2).
O que o problema pede: encontrar \vec{b}_{2} (a resposta está entre as alternativas, que indicam apenas a segunda componente como 3,4,5,6,8,9,10 — precisamos achar qual é).

Passo 2

Entendendo o que significa [\vec{u}]_{\beta}=(4,1) e [\vec{v}]_{\beta}=(1,2):
Quando dizemos [\vec{u}]_{\beta}=(4,1), isso significa que \vec{u} se escreve como combinação linear das bases \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2} assim:
\vec{u} = 4\vec{b}_{1} + 1\vec{b}_{2}.
De modo análogo, [\vec{v}]_{\beta}=(1,2) significa
\vec{v} = 1\vec{b}_{1} + 2\vec{b}_{2}.
Essa é a tradução fundamental: coordenadas na base são os coeficientes da combinação linear das vetores da base.

Passo 3

Agora escrevo as duas equações com as coordenadas padrão (já que \vec{u} e \vec{v} foram dadas em coordenadas padrão):
(2,-7) = 4\vec{b}_{1} + \vec{b}_{2},
(-3,7) = \vec{b}_{1} + 2\vec{b}_{2}.
Vou usar essas duas equações para isolar \vec{b}_{2}. Para clareza, pense em \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2} como vetores coluna desconhecidos.

Passo 4

Aplicando eliminação de incógnitas de forma inteligente: multiplico a segunda equação por 4 e subtraio a primeira — a ideia é eliminar 4\vec{b}_{1} e ficar só em função de \vec{b}_{2}. Multiplicando a segunda por 4 obtemos
4(-3,7) = 4\vec{b}_{1} + 8\vec{b}_{2}.
Agora faço 4\vec{v} - \vec{u}:
4\vec{v} - \vec{u} = (4\vec{b}_{1} + 8\vec{b}_{2}) - (4\vec{b}_{1} + \vec{b}_{2}) = 7\vec{b}_{2}.
Logo
7\vec{b}_{2} = 4\vec{v} - \vec{u}.

Passo 5

Calculo o lado direito numericamente: primeiro 4\vec{v}:
4\vec{v} = 4(-3,7) = (-12,28).
Agora 4\vec{v} - \vec{u}:
4\vec{v} - \vec{u} = (-12,28) - (2,-7) = (-12-2,\;28-(-7)) = (-14,35).
Portanto
7\vec{b}_{2} = (-14,35).

Passo 6

Isolo \vec{b}_{2} dividindo por 7:
\vec{b}_{2} = \frac{1}{7}(-14,35) = (-2,5).
Então a segunda componente de \vec{b}_{2} é 5, o que corresponde à alternativa (C).

Passo 7

(Faço uma verificação rápida para nos dar confiança.) A partir de \vec{b}_{2}=(-2,5) posso obter \vec{b}_{1} usando \vec{v}=\vec{b}_{1}+2\vec{b}_{2}:
\vec{b}_{1} = \vec{v} - 2\vec{b}_{2} = (-3,7) - 2(-2,5) = (-3,7) - (-4,10) = (1,-3).
Verifico se \vec{u}=4\vec{b}_{1}+\vec{b}_{2}:
4(1,-3) + (-2,5) = (4,-12) + (-2,5) = (2,-7),
que coincide com \vec{u}. Tudo consistente.

Resposta

(C) \displaystyle \begin{pmatrix}-2 \\[4pt] 5\end{pmatrix}]

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