Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (x+2 y+z, x+y,-x-4 y-4 z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{33} vale:
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
(F) 4
(G) 5
(H) 6

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z) = (x+2y+z,\; x+y,\; -x-4y-4z).
Pede-se: encontre a matriz B que representa a inversa de T (ou seja, B = A^{-1}, onde A é a matriz de T na base canônica) e determine o valor da entrada b_{33}. As opções são (A)\,-1,\,(B)\,0,\,\text{(C)}\,1,\,(D)\,2,\,(E)\,3,\,(F)\,4,\,(G)\,5,\,(H)\,6.
Informações relevantes dadas:
T(1,0,0) = (1,1,-1),\quad T(0,1,0) = (2,1,-4),\quad T(0,0,1) = (1,0,-4).
Esses vetores são as colunas da matriz A de T na base canônica.

Passo 2

Montamos a matriz A de T usando as imagens dos vetores da base canônica (cada coluna é T(e_i)):
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] -1 & -4 & -4 \end{pmatrix}.
Explicação rápida: a primeira coluna é T(1,0,0), a segunda é T(0,1,0) e a terceira é T(0,0,1). Agora queremos B = A^{-1}.]

Passo 3

Escolhemos inverter A por eliminação de Gauss (método prático e direto). Montamos a matriz aumentada [A\mid I]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & -4 & -4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Objetivo: por operações elementares transformar o bloco esquerdo em I; o bloco direito ficará A^{-1}.]

Passo 4

Usamos a primeira linha como pivô para zerar as entradas abaixo na coluna 1.
R2 := R2 - R1 e R3 := R3 + R1, obtendo:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -2 & -3 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right].
Aqui cada operação é feita entrada a entrada: por exemplo, nova R2 coluna2 =1-2=-1, etc.]

Passo 5

Tornamos o pivô da segunda linha igual a 1 multiplicando R2 por -1:
R2 := -1 \cdotR2, ficando
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & -2 & -3 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Eliminamos as outras entradas na coluna 2 usando o pivô R2:
R1 := R1 - 2·R2 e R3 := R3 + 2·R2. Calculando:
  • Para R1: coluna3 fica 1 - 2\cdot 1 = -1; bloco direito fica (1,0,0)-2(1,-1,0)=(-1,2,0).
  • Para R3: coluna3 fica -3 + 2\cdot 1 = -1; bloco direito fica (1,0,1)+2(1,-1,0)=(3,-2,1).
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & -1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 3 & -2 & 1 \end{array}\right].]

Passo 7

Tornamos o pivô da terceira linha igual a 1 multiplicando R3 por -1:
R3 := -1 \cdotR3, ficando
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & -1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -3 & 2 & -1 \end{array}\right].]

Passo 8

Eliminamos as entradas acima do pivô na coluna 3:
R1 := R1 + R3 e R2 := R2 - R3.
  • Para R1: coluna1,2,3 passam a (1,0,0); bloco direito (-1,2,0)+(-3,2,-1)=(-4,4,-1).
  • Para R2: coluna1,2,3 passam a (0,1,0); bloco direito (1,-1,0)-(-3,2,-1)=(4,-3,1).
Então a matriz aumentada final é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -4 & 4 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 4 & -3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -3 & 2 & -1 \end{array}\right].]

Passo 9

O bloco direito agora é A^{-1}. Assim
B = A^{-1} = \begin{pmatrix} -4 & 4 & -1\\[4pt] 4 & -3 & 1\\[4pt] -3 & 2 & -1 \end{pmatrix}.
Da matriz B acima vemos que b_{33} = -1. A opção correspondente é (A).]

Resposta

(A) -1

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