Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,3)=(1,2,1) e T(-3,-8)=(-2,-6,-4).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{21} da matriz A vale:
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
(F) 4
(G) 5
(H) 6
Passo 1
O enunciado dá duas imagens pela transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3:
T(1,3)=(1,2,1).
T(-3,-8)=(-2,-6,-4).
O que pede: determinar a matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix},
e, em particular, informar o valor da entrada a_{21} de A. As opções são (A) -1, (B) 0, (C) 1, (D) 2, (E) 3, (F) 4, (G) 5, (H) 6.
Passo 2
Explicação didática curta do que vamos usar (sem pular etapas): para uma transformação linear T em coordenadas canônicas, a matriz A é a matriz cujas colunas são as imagens dos vetores base \,e_1=(1,0) e e_2=(0,1). Ou seja, se definirmos
e para qualquer (x,y) vale T(x,y)=x\,u+y\,v. Portanto, a informação dada gera duas equações lineares em u e v, que vamos resolver componente a componente.
Passo 3
Escrever as equações (pegando os dados do enunciado):
onde \begin{pmatrix}r_{1i}\\\ r_{2i}\end{pmatrix} é a coluna formada pelas i-ésimas coordenadas dos vetores dados: para i=1 temos \begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}, para i=2 temos \begin{pmatrix}2\\\ -6\end{pmatrix}, para i=3 temos \begin{pmatrix}1\\\ -4\end{pmatrix}.
Calculemos a inversa da matriz de coeficientes
M=\begin{pmatrix}1 & 3\\\\ -3 & -8\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(M)=1\cdot(-8)-3\cdot(-3)=-8+9=1,
logo M é invertível. A inversa (fórmula da inversa de 2\times2) é