Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,3)=(1,2,1) e T(-3,-8)=(-2,-6,-4).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{21} da matriz A vale:
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
(F) 4
(G) 5
(H) 6

Passo 1

O enunciado dá duas imagens pela transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3:
  • T(1,3)=(1,2,1).
  • T(-3,-8)=(-2,-6,-4).
O que pede: determinar a matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix},
e, em particular, informar o valor da entrada a_{21} de A. As opções são (A) -1, (B) 0, (C) 1, (D) 2, (E) 3, (F) 4, (G) 5, (H) 6.

Passo 2

Explicação didática curta do que vamos usar (sem pular etapas): para uma transformação linear T em coordenadas canônicas, a matriz A é a matriz cujas colunas são as imagens dos vetores base \,e_1=(1,0) e e_2=(0,1). Ou seja, se definirmos
u:=T(e_1)\in\mathbb{R}^3,\qquad v:=T(e_2)\in\mathbb{R}^3,
então
A=\begin{pmatrix}u & v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_1 & v_1\\\ u_2 & v_2\\\ u_3 & v_3\end{pmatrix},
e para qualquer (x,y) vale T(x,y)=x\,u+y\,v. Portanto, a informação dada gera duas equações lineares em u e v, que vamos resolver componente a componente.

Passo 3

Escrever as equações (pegando os dados do enunciado):
  • De T(1,3)=u+3v=(1,2,1) temos
u+3v=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}.
  • De T(-3,-8)=-3u-8v=(-2,-6,-4) temos
-3u-8v=\begin{pmatrix}-2\\\ -6\\\ -4\end{pmatrix}.
Essas são duas equações vetoriais equivalentes, coordenada a coordenada, a um sistema 2\times2 para cada coordenada dos vetores u e v.

Passo 4

Organizar o sistema matricial para resolver u e v. Para cada coordenada (indice i=1,2,3) temos
\begin{pmatrix}1 & 3\\\\ -3 & -8\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_i\\\ v_i\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}r_{1i}\\\ r_{2i}\end{pmatrix},
onde \begin{pmatrix}r_{1i}\\\ r_{2i}\end{pmatrix} é a coluna formada pelas i-ésimas coordenadas dos vetores dados: para i=1 temos \begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}, para i=2 temos \begin{pmatrix}2\\\ -6\end{pmatrix}, para i=3 temos \begin{pmatrix}1\\\ -4\end{pmatrix}.
Calculemos a inversa da matriz de coeficientes
M=\begin{pmatrix}1 & 3\\\\ -3 & -8\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(M)=1\cdot(-8)-3\cdot(-3)=-8+9=1,
logo M é invertível. A inversa (fórmula da inversa de 2\times2) é
M^{-1}=\begin{pmatrix}-8 & -3\\\\ 3 & 1\end{pmatrix}.
Portanto, para cada coordenada i vale
\begin{pmatrix}u_i\\\ v_i\end{pmatrix} = M^{-1}\begin{pmatrix}r_{1i}\\\ r_{2i}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8 & -3\\\\ 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}r_{1i}\\\ r_{2i}\end{pmatrix}.

Passo 5

Resolver para a primeira coordenada ( i=1). Aqui \begin{pmatrix}r_{11}\\\ r_{21}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}. Então
\begin{pmatrix}u_1\\\ v_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8 & -3\\\\ 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8\cdot1+(-3)\cdot(-2)\\[4pt] 3\cdot1+1\cdot(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8+6\\[4pt] 3-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\[4pt] 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Resolver para a segunda coordenada ( i=2). Aqui \begin{pmatrix}r_{12}\\\ r_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\\ -6\end{pmatrix}. Então
\begin{pmatrix}u_2\\\ v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8 & -3\\\\ 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\\ -6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8\cdot2+(-3)\cdot(-6)\\[4pt] 3\cdot2+1\cdot(-6)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-16+18\\[4pt] 6-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt] 0\end{pmatrix}.]

Passo 7

Resolver para a terceira coordenada ( i=3). Aqui \begin{pmatrix}r_{13}\\\ r_{23}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\\ -4\end{pmatrix}. Então
\begin{pmatrix}u_3\\\ v_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8 & -3\\\\ 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8\cdot1+(-3)\cdot(-4)\\[4pt] 3\cdot1+1\cdot(-4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8+12\\[4pt] 3-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\[4pt] -1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora juntamos as coordenadas para obter u e v:
u=T(e_1)=\begin{pmatrix}u_1\u_2\u_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\\ 2\\\ 4\end{pmatrix}, \qquad v=T(e_2)=\begin{pmatrix}v_1\v_2\v_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.
Portanto a matriz A que representa T na base canônica é
A=\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt] 2 & 0\\[4pt] 4 & -1\end{pmatrix}.
A entrada a_{21} (segunda linha, primeira coluna) é o número 2.]

Resposta

(D) 2

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