Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Foi dado a_{13}=-24.
O núcleo de A é \ker A=\operatorname{span}\{(2,1,0),(-2,0,-1)\}.
A imagem de A é \operatorname{Im} A=\operatorname{span}\{(-3,3,1)\}.
Pergunta: qual é o valor de a_{22}? (Há opções de (A) a (H).)
Passo 2
Interpretação essencial (explicação didática): a imagem sendo \operatorname{span}\{(-3,3,1)\} significa que todas as colunas de A estão na mesma reta gerada por (-3,3,1). Ou seja, cada coluna \,c_j de A é um múltiplo escalar desse vetor. Vou escrever isso com notação:
v = (-3,3,1), \qquad c_j = \alpha_j v\quad\text{para }j=1,2,3.
Então
A = \big(c_1\; c_2\; c_3\big)=\big(\alpha_1 v\;\; \alpha_2 v\;\; \alpha_3 v\big).
Passo 3
Usar o núcleo: um vetor x=(x_1,x_2,x_3) pertence a \ker A se e só se A x=0. Com as colunas múltiplas de v temos
A x = x_1 c_1 + x_2 c_2 + x_3 c_3 = (x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3)\,v.
Portanto A x=0 equivalente a
x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 = 0.
Como \ker A é gerado por (2,1,0) e (-2,0,-1), esses vetores devem satisfazer a equação acima. Substituindo:
Ler a entrada pedida: a_{22} é a entrada na segunda linha, segunda coluna. Da matriz acima vemos
a_{22} = 24.
Ótimo — conseguimos achar a matriz (até a constante que fixamos com a_{13}) e a entrada pedida. Força aí, você já tem o raciocínio para problemas similares: identificar que colunas ficam na imagem, escrever coeficientes \alpha_j, e impor as equações do núcleo para achar as proporções.