Q5: Calcule a matriz A, sabendo que:
  • a_{13}=-24,
  • Núcleo A=\operatorname{span}\{(2,1,0),(-2,0,-1)\} e
  • Imagem A=\operatorname{span}\{(-3,3,1)\}.
A entrada a_{22} vale:
(A) 19
(B) 20
(C) 21
(D) 22
(E) 23
(F) 24
(G) 25
(H) 26

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Foi dado a_{13}=-24.
  • O núcleo de A é \ker A=\operatorname{span}\{(2,1,0),(-2,0,-1)\}.
  • A imagem de A é \operatorname{Im} A=\operatorname{span}\{(-3,3,1)\}.
  • Pergunta: qual é o valor de a_{22}? (Há opções de (A) a (H).)

Passo 2

Interpretação essencial (explicação didática): a imagem sendo \operatorname{span}\{(-3,3,1)\} significa que todas as colunas de A estão na mesma reta gerada por (-3,3,1). Ou seja, cada coluna \,c_j de A é um múltiplo escalar desse vetor. Vou escrever isso com notação:
v = (-3,3,1), \qquad c_j = \alpha_j v\quad\text{para }j=1,2,3.
Então
A = \big(c_1\; c_2\; c_3\big)=\big(\alpha_1 v\;\; \alpha_2 v\;\; \alpha_3 v\big).

Passo 3

Usar o núcleo: um vetor x=(x_1,x_2,x_3) pertence a \ker A se e só se A x=0. Com as colunas múltiplas de v temos
A x = x_1 c_1 + x_2 c_2 + x_3 c_3 = (x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3)\,v.
Portanto A x=0 equivalente a
x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 = 0.
Como \ker A é gerado por (2,1,0) e (-2,0,-1), esses vetores devem satisfazer a equação acima. Substituindo:
Para (2,1,0):
2\alpha_1 + 1\alpha_2 + 0\alpha_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2\alpha_1 + \alpha_2 = 0.
Para (-2,0,-1):
-2\alpha_1 + 0\alpha_2 -1\alpha_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad -2\alpha_1 - \alpha_3 = 0.

Passo 4

Resolver o sistema obtido para \alpha_j (até escala, pois multiplicar todos os \alpha_j por uma constante não muda a kernel nem a imagem):
Da primeira equação:
\alpha_2 = -2\alpha_1.
Da segunda:
\alpha_3 = -2\alpha_1.
Logo (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\alpha_1(1,-2,-2). Vou parametrizar por t=\alpha_1, assim
\alpha_1 = t,\qquad \alpha_2 = -2t,\qquad \alpha_3 = -2t.
Isso implica nas colunas:
c_1 = t\,v,\qquad c_2 = -2t\,v,\qquad c_3 = -2t\,v.

Passo 5

Usar a entrada conhecida a_{13}=-24. A entrada a_{13} é a primeira componente da coluna c_3. Calcule a primeira componente de c_3:
c_3 = -2t\,v = -2t\,(-3,3,1) = (-2t)(-3,\;3,\;1).
A primeira componente é (-2t)(-3)=6t. Então
6t = a_{13} = -24.
Portanto
t = \frac{-24}{6} = -4.

Passo 6

Com t=-4 podemos calcular explicitamente as colunas e, em particular, a entrada a_{22}.
Primeiro v=(-3,3,1). Então
c_1 = t\,v = -4(-3,3,1) = (12,-12,-4),
c_2 = -2t\,v = -2(-4)(-3,3,1)=8(-3,3,1)=(-24,24,8),
c_3 = -2t\,v = (-24,24,8) \quad(\text{mesmo que }c_2).
Escrevendo A por colunas:
A = \begin{pmatrix} 12 & -24 & -24\\[4pt] -12 & 24 & 24\\[4pt] -4 & 8 & 8 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Ler a entrada pedida: a_{22} é a entrada na segunda linha, segunda coluna. Da matriz acima vemos
a_{22} = 24.
Ótimo — conseguimos achar a matriz (até a constante que fixamos com a_{13}) e a entrada pedida. Força aí, você já tem o raciocínio para problemas similares: identificar que colunas ficam na imagem, escrever coeficientes \alpha_j, e impor as equações do núcleo para achar as proporções.

Resposta

(F) 24

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