O que é pedido: a dimensão da imagem de T.
Informações relevantes fornecidas:
T é linear e tem domínio \mathbb{R}^{4} e contradomínio \mathbb{R}^{3}.
As componentes de T expressam os coeficientes que formam as colunas da matriz de T na base canônica (ver passo seguinte).
Passo 2
O que significa “dimensão da imagem”?
A imagem de T, denotada \operatorname{Im}(T), é o conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^{3} que podem ser escritos como T(x) para algum x\in\mathbb{R}^{4}. Em linguagem linear, \operatorname{Im}(T) é o subespaço de \mathbb{R}^{3} gerado pelas colunas da matriz de T.
A dimensão da imagem é simplesmente o número de vetores linearmente independentes nesse conjunto de colunas — isto é, o posto (rank) da matriz de T. Portanto, para achar a dimensão da imagem basta encontrar o posto da matriz que representa T na base canônica.
Passo 3
Escrever a matriz A de T (colunas correspondem às imagens dos vetores canônicos e_1,e_2,e_3,e_4). Pelas fórmulas dadas, os coeficientes nas coordenadas formam a matriz 3\times4:
A forma atual já é uma forma escalonada por linhas: há pivôs não nulos nas colunas 1, 2 e 3, pois as linhas 1, 2 e 3 são não nulas e cada nova linha tem seu primeiro não-zero mais à direita que a anterior. Podemos, se quisermos, tornar os pivôs exatamente 1 dividindo as linhas por seus fatores, mas não é necessário para contar o posto.
Para deixar explícito:
R_1 tem pivô em coluna 1 (valor 1).
R_2 tem pivô em coluna 2 (valor -2).
R_3 tem pivô em coluna 3 (valor -3).
Portanto existem três pivôs.
Passo 7
Conclusão sobre o posto: o número de pivôs é o posto (rank) de A. Assim
\operatorname{rank}(A)=3.
Como a dimensão da imagem de T é o posto da matriz de T, segue que a dimensão da imagem é 3.
Observação rápida para dar confiança: o posto não pode ser maior que \min(3,4)=3 porque A é 3\times4; portanto o máximo possível era 3 e nós efetivamente encontramos 3. Logo as alternativas que apresentavam 4 ou 0,1,2 estão descartadas.