Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}\right., \left.-x_{1}-4 x_{2}-x_{3}-3 x_{4}, \quad 2 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+5 x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=\bigl(x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+2x_{4},\;-x_{1}-4x_{2}-x_{3}-3x_{4},\;2x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+5x_{4}\bigr).
O que é pedido: a dimensão da imagem de T.
Informações relevantes fornecidas:
  • T é linear e tem domínio \mathbb{R}^{4} e contradomínio \mathbb{R}^{3}.
  • As componentes de T expressam os coeficientes que formam as colunas da matriz de T na base canônica (ver passo seguinte).

Passo 2

O que significa “dimensão da imagem”?
  • A imagem de T, denotada \operatorname{Im}(T), é o conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^{3} que podem ser escritos como T(x) para algum x\in\mathbb{R}^{4}. Em linguagem linear, \operatorname{Im}(T) é o subespaço de \mathbb{R}^{3} gerado pelas colunas da matriz de T.
  • A dimensão da imagem é simplesmente o número de vetores linearmente independentes nesse conjunto de colunas — isto é, o posto (rank) da matriz de T. Portanto, para achar a dimensão da imagem basta encontrar o posto da matriz que representa T na base canônica.

Passo 3

Escrever a matriz A de T (colunas correspondem às imagens dos vetores canônicos e_1,e_2,e_3,e_4). Pelas fórmulas dadas, os coeficientes nas coordenadas formam a matriz 3\times4:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\[4pt] -1 & -4 & -1 & -3\\[4pt] 2 & 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}.
A tarefa é calcular o posto de A, ou seja, quantas linhas/colunas independentes existem.]

Passo 4

Vamos reduzir A a uma forma escalonada por linhas (escalonamento por operações elementares) — cada passo explico o que faço e por quê.
Começo com
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\[4pt] -1 & -4 & -1 & -3\\[4pt] 2 & 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}.
Objetivo: zerar as entradas abaixo do pivô na primeira coluna. Faço operações:
  • R_2 \leftarrow R_2 + R_1 (anula o -1 da primeira coluna em R_2)
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1 (anula o 2 da primeira coluna em R_3)
Aplicando:
R_2+R_1=(-1+1,\,-4+2,\,-1+2,\,-3+2)=(0,-2,1,-1),
R_3-2R_1=(2-2,\;2-4,\;2-4,\;5-4)=(0,-2,-2,1).
Nova matriz:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\[4pt] 0 & -2 & 1 & -1\\[4pt] 0 & -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora trabalho na segunda coluna (segundo pivô). Posso eliminar o termo abaixo do pivô em R_3 com:
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
Calcule:
R_3-R_2=(0-0,\,-2-(-2),\,-2-1,\;1-(-1))=(0,0,-3,2).
Matriz atual:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\[4pt] 0 & -2 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -3 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 6

A forma atual já é uma forma escalonada por linhas: há pivôs não nulos nas colunas 1, 2 e 3, pois as linhas 1, 2 e 3 são não nulas e cada nova linha tem seu primeiro não-zero mais à direita que a anterior. Podemos, se quisermos, tornar os pivôs exatamente 1 dividindo as linhas por seus fatores, mas não é necessário para contar o posto.
Para deixar explícito:
  • R_1 tem pivô em coluna 1 (valor 1).
  • R_2 tem pivô em coluna 2 (valor -2).
  • R_3 tem pivô em coluna 3 (valor -3).
Portanto existem três pivôs.

Passo 7

Conclusão sobre o posto: o número de pivôs é o posto (rank) de A. Assim
\operatorname{rank}(A)=3.
Como a dimensão da imagem de T é o posto da matriz de T, segue que a dimensão da imagem é 3.
Observação rápida para dar confiança: o posto não pode ser maior que \min(3,4)=3 porque A é 3\times4; portanto o máximo possível era 3 e nós efetivamente encontramos 3. Logo as alternativas que apresentavam 4 ou 0,1,2 estão descartadas.

Resposta

(D) 3

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