Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,3)=(1,2,2) e T(3,8)=(3,5,7).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e fornece duas imagens:
  • T(1,3)=(1,2,2).
  • T(3,8)=(3,5,7).
O que é pedido:
  • Determinar a matriz A tal que T(x,y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
  • A partir dessa matriz, identificar o valor da entrada a_{12} (entrada da primeira linha e segunda coluna), escolhendo a alternativa correta entre (A)–(H).

Passo 2

Vamos lembrar uma coisa fundamental sobre transformações lineares e matrizes: se A é a matriz de T (tamanho 3\times2), então as colunas de A são exatamente as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^2. Ou seja, se
A=\big[\,T(e_1)\;\; T(e_2)\,\big],
com e_1=(1,0) e e_2=(0,1), então a primeira coluna é T(e_1) e a segunda coluna é T(e_2). Vamos chamar
T(e_1)=u=\left[\begin{array}{c}u_1\u_2\u_3\end{array}\right], \qquad T(e_2)=v=\left[\begin{array}{c}v_1\v_2\v_3\end{array}\right].

Passo 3

Usando linearidade de T, podemos escrever as informações fornecidas em termos de u e v:
T(1,3)=T(e_1+3e_2)=T(e_1)+3T(e_2)=u+3v=(1,2,2),
T(3,8)=T(3e_1+8e_2)=3T(e_1)+8T(e_2)=3u+8v=(3,5,7).
Portanto temos o sistema vetorial
\begin{cases} u+3v=(1,2,2),\\[4pt] 3u+8v=(3,5,7). \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para u e v. Uma maneira rápida é eliminar u. Multiplicando a primeira equação por 3 obtemos
3u+9v=3(1,2,2)=(3,6,6).
Agora subtraímos a segunda equação 3u+8v=(3,5,7) da equação obtida:
(3u+9v)-(3u+8v)=(3,6,6)-(3,5,7).
No lado esquerdo sobra v. No direito fazemos a subtração componente a componente:
v=(3-3,\;6-5,\;6-7)=(0,1,-1).

Passo 5

Agora que temos v, voltamos à primeira equação u+3v=(1,2,2) para achar u:
u=(1,2,2)-3v=(1,2,2)-3(0,1,-1).
Calcule componente a componente:
3v=(0,3,-3),
u=(1-0,\;2-3,\;2-(-3))=(1,-1,5).

Passo 6

Agora escrevemos a matriz A cujas colunas são u e v:
A=\begin{bmatrix} u_1 & v_1\\[4pt] u_2 & v_2\\[4pt] u_3 & v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\[4pt] -1 & 1\\[4pt] 5 & -1 \end{bmatrix}.]

Passo 7

A entrada solicitada a_{12} é a entrada da primeira linha e segunda coluna da matriz A. Observando a matriz acima, tem-se
a_{12}=0.

Resposta

(D)

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