Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,3)=(1,2,2) e T(3,8)=(3,5,7).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e fornece duas imagens:
T(1,3)=(1,2,2).
T(3,8)=(3,5,7).
O que é pedido:
Determinar a matriz A tal que T(x,y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A partir dessa matriz, identificar o valor da entrada a_{12} (entrada da primeira linha e segunda coluna), escolhendo a alternativa correta entre (A)–(H).
Passo 2
Vamos lembrar uma coisa fundamental sobre transformações lineares e matrizes: se A é a matriz de T (tamanho 3\times2), então as colunas de A são exatamente as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^2. Ou seja, se
A=\big[\,T(e_1)\;\; T(e_2)\,\big],
com e_1=(1,0) e e_2=(0,1), então a primeira coluna é T(e_1) e a segunda coluna é T(e_2). Vamos chamar