Explicando devagar: coordenadas (c_{1},c_{2}) em relação à base \beta significam que o vetor é c_{1}\vec{b}_{1}+c_{2}\vec{b}_{2}. Aqui c_{1}=-2 e c_{2}=-1.
Se [\vec{v}]_{\beta}=(-3,4), isso significa
\vec{v} = -3\,\vec{b}_{1} + 4\,\vec{b}_{2}.
Essas duas igualdades são duas equações vetoriais (cada uma equivale a duas equações escalares, uma para cada componente).
Passo 3
Escrever \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2} em componentes desconhecidas e traduzir as igualdades em equações escalares.
A partir de \vec{v}=-3\vec{b}_{1}+4\vec{b}_{2} e \vec{v}=(-2,-1) obtemos:-3\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}+4\begin{pmatrix}p\q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\\ -1\end{pmatrix},que fornece-3x + 4p = -2,
-3y + 4q = -1.
Agora temos um sistema de quatro equações lineares em quatro incógnitas x,y,p,q.
Passo 4
Resolver o sistema por substituição (maneira simples e direta).
Das duas primeiras equações isolamos p e q:-2x - p = -5 \quad\Rightarrow\quad p = 5 - 2x,
-2y - q = -8 \quad\Rightarrow\quad q = 8 - 2y.
Substituir p e q nas duas equações restantes:-3x + 4(5 - 2x) = -2,