Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(-5,-8) e \vec{v}=(-2,-1). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(-2,-1) e [\vec{v}]_{\beta}=(-3,4), então \vec{b}_{1} é:
(A) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 3\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 4\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 5\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 6\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 7\end{array}\right]

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A base \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} de \mathbb{R}^{2}.
    • Vetores no sistema canônico: \vec{u}=(-5,-8) e \vec{v}=(-2,-1).
    • Coordenadas desses vetores na base \beta: [\vec{u}]_{\beta}=(-2,-1) e [\vec{v}]_{\beta}=(-3,4).
  • Pergunta:
    • Determinar \vec{b}_{1}. Nas alternativas apenas o componente vertical de \vec{b}_{1} varia; escolher a alternativa correta (A)–(H).

Passo 2

Entendendo o significado das coordenadas em uma base (a teoria que vamos usar).
  • Se [\vec{u}]_{\beta}=(-2,-1), isso significa que, na base \beta,
    \vec{u} = -2\,\vec{b}_{1} + (-1)\,\vec{b}_{2} = -2\vec{b}_{1} - \vec{b}_{2}.
    Explicando devagar: coordenadas (c_{1},c_{2}) em relação à base \beta significam que o vetor é c_{1}\vec{b}_{1}+c_{2}\vec{b}_{2}. Aqui c_{1}=-2 e c_{2}=-1.
  • Se [\vec{v}]_{\beta}=(-3,4), isso significa
    \vec{v} = -3\,\vec{b}_{1} + 4\,\vec{b}_{2}.
Essas duas igualdades são duas equações vetoriais (cada uma equivale a duas equações escalares, uma para cada componente).

Passo 3

Escrever \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2} em componentes desconhecidas e traduzir as igualdades em equações escalares.
  • Seja
    \vec{b}_{1}=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},\qquad \vec{b}_{2}=\begin{pmatrix}p\q\end{pmatrix},
    onde x,y,p,q são números reais desconhecidos.
  • A partir de \vec{u}=-2\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2} e \vec{u}=(-5,-8) obtemos:
    -2\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}p\q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\\ -8\end{pmatrix}.
    Isso fornece as duas equações escalares
    -2x - p = -5,
-2y - q = -8.
  • A partir de \vec{v}=-3\vec{b}_{1}+4\vec{b}_{2} e \vec{v}=(-2,-1) obtemos: -3\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}+4\begin{pmatrix}p\q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\\ -1\end{pmatrix},que fornece -3x + 4p = -2,
-3y + 4q = -1.
Agora temos um sistema de quatro equações lineares em quatro incógnitas x,y,p,q.

Passo 4

Resolver o sistema por substituição (maneira simples e direta).
  • Das duas primeiras equações isolamos p e q: -2x - p = -5 \quad\Rightarrow\quad p = 5 - 2x,
-2y - q = -8 \quad\Rightarrow\quad q = 8 - 2y.
  • Substituir p e q nas duas equações restantes: -3x + 4(5 - 2x) = -2,
-3y + 4(8 - 2y) = -1.

Passo 5

Fazer as contas e encontrar x e y.
  • Calcular a primeira:
    -3x + 20 - 8x = -2 \quad\Rightarrow\quad -11x + 20 = -2 \quad\Rightarrow\quad -11x = -22 \quad\Rightarrow\quad x = 2.
  • Calcular a segunda:
    -3y + 32 - 8y = -1 \quad\Rightarrow\quad -11y + 32 = -1 \quad\Rightarrow\quad -11y = -33 \quad\Rightarrow\quad y = 3.
Portanto
\vec{b}_{1}=\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix}.
Opcional (cheque rápido): com x=2,y=3 obtemos p=5-2x=1 e q=8-2y=2, logo \vec{b}_{2}=(1,2). Verificando:
-2\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2}=-2\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\\ -8\end{pmatrix},
-3\vec{b}_{1}+4\vec{b}_{2}=-3\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix}+4\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\\ -1\end{pmatrix},
como exigido.

Passo 6

Interpretar a resposta em relação às alternativas: a componente vertical de \vec{b}_{1} é 3, então a alternativa correta é a que tem [*\;3]^{T}.

Resposta

(D) \displaystyle \begin{pmatrix}2\\[2pt]3\end{pmatrix}]

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