Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}-2 x_{2}-x_{3}+2 x_{4}\right., \left.-2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}-3 x_{4}, \quad x_{1}-x_{2}+x_{3}+3 x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\bigl(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigr)=\bigl(x_{1}-2x_{2}-x_{3}+2x_{4},\;-2x_{1}+3x_{2}+x_{3}-3x_{4},\;x_{1}-x_{2}+x_{3}+3x_{4}\bigr).
A pergunta é: qual é a dimensão da imagem de T (ou seja, \dim(\operatorname{Im}T))?
Informações relevantes que temos: a transformação vai de \mathbb{R}^{4} para \mathbb{R}^{3} e cada componente é uma combinação linear das coordenadas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado de forma simples): a dimensão da imagem de uma transformação linear é o posto (rank) da matriz que representa essa transformação. Essa matriz tem colunas correspondentes às imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^{4}. O posto é o número de colunas linearmente independentes (equivalente ao número de pivôs na forma escalonada). Então basta montar a matriz de T e calcular seu posto por eliminação de Gauss.

Passo 3

Matriz de T na base canônica (cada coluna é a imagem de um vetor da base correspondente ao coeficiente de x_{j} nas três componentes):
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 2\\[4pt] -2 & 3 & 1 & -3\\[4pt] 1 & -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Queremos \operatorname{rank}(A).]

Passo 4

Aplicando eliminação de Gauss passo a passo (vou explicar cada operação e mostrar a matriz resultante):
Começo com
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 2\\\\ -2 & 3 & 1 & -3\\\\ 1 & -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
  1. Elimino a primeira coluna nas linhas 2 e 3 usando a linha 1:
  • R_{2}\leftarrow R_{2}+2R_{1} R_{2}=[0,\,-1,\,-1,\,1].
  • R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1} R_{3}=[0,\,1,\,2,\,1].
Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Tornar o pivô da segunda linha positivo e usar para eliminar a entrada abaixo e ajustar a primeira linha:
  • Multiplico R_{2} por -1: R_{2}=[0,\,1,\,1,\,-1].
  • R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2} R_{3}=[0,\,0,\,1,\,2].
  • R_{1}\leftarrow R_{1}+2R_{2} R_{1}=[1,\,0,\,1,\,0].
Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
  1. Elimino a entrada na coluna 3 nas linhas 1 e 2 usando R_{3} (que já tem pivô 1 em coluna 3):
  • R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{3} R_{1}=[1,\,0,\,0,\,-2].
  • R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{3} R_{2}=[0,\,1,\,0,\,-3].
Resultado em forma reduzida:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Interpretação: a forma reduzida mostra três pivôs (colunas com pivô nas colunas 1, 2 e 3). Portanto
\operatorname{rank}(A)=3.
Como a dimensão da imagem de T é exatamente o posto da matriz,
\dim(\operatorname{Im}T)=3.
Observação adicional intuitiva: o posto não pode exceder 3 porque o contradomínio é \mathbb{R}^{3}; aqui atingimos o máximo possível, então a imagem é todo \mathbb{R}^{3} (ou seja, T é sobrejetora).

Passo 6

Para ficar ainda mais concreto, dá para ver explicitamente que as três primeiras colunas são linearmente independentes e que a quarta coluna é combinação linear das três primeiras. Seja c_{1},c_{2},c_{3} coeficientes tais que
c_{1}\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix} +c_{2}\begin{pmatrix}-2\\\ 3\\\ -1\end{pmatrix} +c_{3}\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ 3\end{pmatrix}.
Encontrando c_{1},c_{2},c_{3} (isto pode ser lido da forma reduzida ou resolvido por substituição) obtém-se
\begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ 3\end{pmatrix} = -2\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix} -3\begin{pmatrix}-2\\\ 3\\\ -1\end{pmatrix} +2\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},
o que confirma dependência linear da quarta coluna e independência das primeiras três.

Resposta

(D) 3

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