A pergunta é: qual é a dimensão da imagem de T (ou seja, \dim(\operatorname{Im}T))?
Informações relevantes que temos: a transformação vai de \mathbb{R}^{4} para \mathbb{R}^{3} e cada componente é uma combinação linear das coordenadas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado de forma simples): a dimensão da imagem de uma transformação linear é o posto (rank) da matriz que representa essa transformação. Essa matriz tem colunas correspondentes às imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^{4}. O posto é o número de colunas linearmente independentes (equivalente ao número de pivôs na forma escalonada). Então basta montar a matriz de T e calcular seu posto por eliminação de Gauss.
Passo 3
Matriz de T na base canônica (cada coluna é a imagem de um vetor da base correspondente ao coeficiente de x_{j} nas três componentes):
Interpretação: a forma reduzida mostra três pivôs (colunas com pivô nas colunas 1, 2 e 3). Portanto
\operatorname{rank}(A)=3.
Como a dimensão da imagem de T é exatamente o posto da matriz,
\dim(\operatorname{Im}T)=3.
Observação adicional intuitiva: o posto não pode exceder 3 porque o contradomínio é \mathbb{R}^{3}; aqui atingimos o máximo possível, então a imagem é todo \mathbb{R}^{3} (ou seja, T é sobrejetora).
Passo 6
Para ficar ainda mais concreto, dá para ver explicitamente que as três primeiras colunas são linearmente independentes e que a quarta coluna é combinação linear das três primeiras. Seja c_{1},c_{2},c_{3} coeficientes tais que