Seja \mathbf{X}=8 \angle 40^{\circ} e \mathbf{Y}=10 \angle-30^{\circ}. Calcule as seguintes quantidades e expresse os resultados na forma polar.
(a) (\mathbf{X}+\mathbf{Y}) \mathbf{X}^{*}

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos em forma polar:
\mathbf{X}=8\angle40^\circ e \mathbf{Y}=10\angle-30^\circ,
e pede para calcular
(\mathbf{X}+\mathbf{Y})\,\mathbf{X}^*
em forma polar. Vamos usar conversão para a forma retangular para somar e, em seguida, voltar à forma polar. Também usaremos que, em forma polar, o conjugado \mathbf{X}^* inverte o sinal do ângulo.

Passo 2

Converter \mathbf{X} e \mathbf{Y} para retangular via \cos e \sin:
\mathbf{X}=8\bigl(\cos40^\circ+j\sin40^\circ\bigr)\approx6,128 + j\,5,143
\mathbf{Y}=10\bigl(\cos(-30^\circ)+j\sin(-30^\circ)\bigr)\approx8,660 - j\,5,000

Passo 3

Somar as componentes retangulares:
\mathbf{X}+\mathbf{Y}\approx(6,128+8,660) + j(5,143-5,000) =14,788 + j\,0,143

Passo 4

Converter \mathbf{X}+\mathbf{Y} para polar calculando módulo e argumento:
\bigl|\mathbf{X}+\mathbf{Y}\bigr| =\sqrt{14,788^2+0,143^2}\approx14,789, \quad \arg(\mathbf{X}+\mathbf{Y}) =\arctan\!\Bigl(\tfrac{0,143}{14,788}\Bigr)\approx0,554^\circ.
Portanto
\mathbf{X}+\mathbf{Y}\approx14,789\angle0,554^\circ.

Passo 5

O conjugado em polar é
\mathbf{X}^*=8\angle-40^\circ,
e ao multiplicar números em polar multiplicamos os módulos e somamos os ângulos:
(\mathbf{X}+\mathbf{Y})\,\mathbf{X}^* =(14,789\angle0,554^\circ)\times(8\angle-40^\circ)

Passo 6

Calcular o produto em polar:
\text{módulo: }14,789\times8\approx118,31, \quad \text{ângulo: }0,554^\circ + (-40^\circ) = -39,446^\circ.óâ

Resposta

(\mathbf{X}+\mathbf{Y})\,\mathbf{X}^*=118,31\angle -39,45^\circ.

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