Seja \mathbf{X}=4 \angle 40^{\circ} e \mathbf{Y}=20 \angle-30^{\circ}. Calcule as quantidades a seguir e expresse seus resultados na forma polar:
(\mathbf{X}+\mathbf{Y}) \mathbf{X}^{*}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes grandezas em forma polar e pede para calcular (\mathbf{X}+\mathbf{Y})\mathbf{X}^{*}:
\mathbf{X}=4\angle 40^\circ,\qquad \mathbf{Y}=20\angle -30^\circ.
Informações relevantes:
\text{Queremos }(\mathbf{X}+\mathbf{Y})\mathbf{X}^{*}.
Nenhuma outra informação é necessária.

Passo 2

Primeira ideia útil (fórmulas e interpretação): uma fasor em forma polar \,r\angle\theta, corresponde ao número complexo
r\angle\theta = r(\cos\theta + j\sin\theta).
O conjugado complexo muda o sinal do ângulo:
(r\angle\theta)^{*}=r\angle(-\theta).
Também vale a propriedade de multiplicação em polar: ao multiplicar (r_1\angle\theta_1) por (r_2\angle\theta_2) obtém-se
(r_1\angle\theta_1)(r_2\angle\theta_2)=(r_1r_2)\angle(\theta_1+\theta_2).

Passo 3

Aplicando o que vimos: o conjugado de \mathbf{X} é
\mathbf{X}^{*}=4\angle(-40^\circ).
Agora escrevemos o produto pedido usando distributividade:
(\mathbf{X}+\mathbf{Y})\mathbf{X}^{*}=\mathbf{X}\mathbf{X}^{*}+\mathbf{Y}\mathbf{X}^{*}.
Mas \mathbf{X}\mathbf{X}^{*} é simplesmente o quadrado do módulo de \mathbf{X}:
\mathbf{X}\mathbf{X}^{*}=| \mathbf{X} |^{2}=4^{2}=16.
Assim
(\mathbf{X}+\mathbf{Y})\mathbf{X}^{*}=16+\mathbf{Y}\mathbf{X}^{*}.

Passo 4

Calculamos \mathbf{Y}\mathbf{X}^{*} em forma polar usando a regra da multiplicação:
\mathbf{Y}\mathbf{X}^{*}=(20\angle -30^\circ)(4\angle -40^\circ)=(20\cdot 4)\angle(-30^\circ-40^\circ)=80\angle -70^\circ.
Portanto
(\mathbf{X}+\mathbf{Y})\mathbf{X}^{*}=16+80\angle -70^\circ.

Passo 5

Para somar 16 (real) com 80\angle -70^\circ convém passar 80\angle -70^\circ para a forma retangular. Usamos as funções trigonométricas:
80\angle -70^\circ = 80(\cos(-70^\circ)+j\sin(-70^\circ)).
Como \cos(-70^\circ)=\cos70^\circ e \sin(-70^\circ)=-\sin70^\circ, e usando os valores aproximados \cos70^\circ\approx 0,342020143 e \sin70^\circ\approx 0,939692620, obtemos
80\cos(-70^\circ)\approx 80\cdot 0,342020143 \approx 27,3616,
80\sin(-70^\circ)\approx 80\cdot(-0,939692620)\approx -75,1754.
Logo
80\angle -70^\circ \approx 27,3616 - j\,75,1754.
Somando o 16 real:
(\mathbf{X}+\mathbf{Y})\mathbf{X}^{*}\approx (16+27,3616) - j\,75,1754 = 43,3616 - j\,75,1754.

Passo 6

Agora convertemos a forma retangular 43,3616 - j\,75,1754 para polar. O módulo é
\left|43,3616 - j\,75,1754\right|=\sqrt{43,3616^{2}+(-75,1754)^{2}}.
Para evitar muitas multiplicações, podemos usar a forma equivalente (lei dos cossenos), lembrando que o vetor é 16+80\angle -70^\circ:
\left|16+80\angle -70^\circ\right|^{2}=16^{2}+80^{2}+2\cdot16\cdot80\cos(-70^\circ).
Substituindo números:
=256+6400+2560\cdot\cos70^\circ \approx 256+6400+2560\cdot 0,342020143 \approx 7531,5716.
Portanto o módulo é
\sqrt{7531,5716}\approx 86,785.
O argumento (ângulo) \varphi é dado por
\varphi=\operatorname{atan2}(\operatorname{Im},\operatorname{Re})=\operatorname{atan2}(-75,1754,\,43,3616).
Calculando a tangente e o arco-tangente:
\tan|\varphi|=\frac{75,1754}{43,3616}\approx 1,7337\quad\Rightarrow\quad |\varphi|\approx 60,02^\circ.
Como a parte imaginária é negativa e a real positiva, o ângulo está no quarto quadrante:
\varphi\approx -60,02^\circ.

Passo 7

Portanto, em forma polar, com aproximação razoável:
(\mathbf{X}+\mathbf{Y})\mathbf{X}^{*}\approx 86,785\angle -60,02^\circ.

Resposta

86,785\angle -60,02^\circ

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