1. Seja \mathbf{F}=\nabla f, onde f(x, y)=\operatorname{sen}(x-2 y). Encontre curvas C_{1} \mathrm{e} C_{2} que não sejam fechadas e satisfaçam a equação.
    (a) \int_{C_{1}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=0
    (b) \int_{C_{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=1

Passo 1

O enunciado dá \mathbf{F}=\nabla f, com
f(x,y)=\sin(x-2y),
e pede duas curvas não fechadas C_{1} e C_{2} tais que
(a) \displaystyle\int_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0
(b) \displaystyle\int_{C_{2}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=1.
O conteúdo usado será o Teorema Fundamental para campos conservativos (campos gradiente), que diz que a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final.

Passo 2

O Teorema Fundamental para \mathbf{F}=\nabla f afirma que, para qualquer curva suave C que vai de \mathbf{r}(a) a \mathbf{r}(b),
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = f\bigl(\mathbf{r}(b)\bigr)\;-\;f\bigl(\mathbf{r}(a)\bigr).
Ou seja, basta escolher dois pontos A e B cujos valores de f façam f(B)-f(A) igual ao valor desejado.

Passo 3

Para (a) queremos f(B)-f(A)=0. Basta achar A e B com f(A)=f(B).
Escolhemos
A=(0,0),\quad f(A)=\sin(0-0)=0,
B=\bigl(\pi,\tfrac{\pi}{2}\bigr),\quad f(B)=\sin\bigl(\pi-2\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\sin(0)=0.
Então qualquer curva de A a B produz integral zero. Por simplicidade, definimos C_{1} como o segmento de reta
\mathbf{r}_{1}(t)=\bigl(\pi t,\tfrac{\pi}{2}t\bigr), \quad t\in[0,1],
que liga A t=0 a B t=1. Logo \displaystyle\int_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=f(B)-f(A)=0.

Passo 4

Para (b) queremos f(B)-f(A)=1. Escolhemos pontos com diferença de \sin:
A=(0,0),\quad f(A)=0,
B=\bigl(\tfrac{\pi}{2},0\bigr),\quad f(B)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}-0\bigr)=1.
De novo, qualquer curva de A a B dá a integral procurada. Tomamos C_{2} como o segmento de reta
\mathbf{r}_{2}(t)=\Bigl(\tfrac{\pi}{2}t,\,0\Bigr), \quad t\in[0,1],
de onde \displaystyle\int_{C_{2}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=f(B)-f(A)=1.

Resposta

C_{1}: segmento de reta de (0,0) a \bigl(\pi,\tfrac{\pi}{2}\bigr), por exemplo
\mathbf{r}_{1}(t)=\bigl(\pi t,\tfrac{\pi}{2}t\bigr),\;t\in[0,1],
com \displaystyle\int_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0.
C_{2}: segmento de reta de (0,0) a \bigl(\tfrac{\pi}{2},0\bigr), por exemplo
\mathbf{r}_{2}(t)=\Bigl(\tfrac{\pi}{2}t,0\Bigr),\;t\in[0,1],
com \displaystyle\int_{C_{2}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=1.

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