- Seja
, onde
. Encontre curvas
que não sejam fechadas e satisfaçam a equação.
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado dá
, com
e pede duas curvas não fechadas
e
tais que
(a)
(b) .
O conteúdo usado será o Teorema Fundamental para campos conservativos (campos gradiente), que diz que a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final.
(a)
(b)
O conteúdo usado será o Teorema Fundamental para campos conservativos (campos gradiente), que diz que a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final.
Passo 2
O Teorema Fundamental para
afirma que, para qualquer curva suave
que vai de
a
,
Ou seja, basta escolher dois pontos
e
cujos valores de
façam
igual ao valor desejado.
Passo 3
Para (a) queremos
. Basta achar
e
com
.
Escolhemos
Escolhemos
Então qualquer curva de
a
produz integral zero. Por simplicidade, definimos
como o segmento de reta
que liga
a
. Logo
Passo 4
Para (b) queremos
. Escolhemos pontos com diferença de
:
De novo, qualquer curva de
a
dá a integral procurada. Tomamos
como o segmento de reta
de onde
Resposta
com
.
com
.