Seja \mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -1 & 1\end{array}\right]. a) Calcule \mathbf{A}^{2}, \mathbf{A}^{3}, \mathbf{A}^{4}, \mathbf{A}^{5}, \mathbf{A}^{6}, \mathbf{A}^{7}. b) Determine a matriz \mathbf{A}^{2001}. Passo 1O enunciado dá a matriz \mathbf{A} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix} e pede as potências \mathbf{A}^2,\dots,\mathbf{A}^7 e depois \mathbf{A}^{2001}. Vamos usar a definição de multiplicação de matrizes e observar que aparece uma periodicidade nas potências. Passo 2Calculando \mathbf{A}^2 = \mathbf{A}\,\mathbf{A} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot0 + 1\cdot(-1) & 0\cdot1 + 1\cdot1 \\[6pt] -1\cdot0 + 1\cdot(-1) & -1\cdot1 + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ -1 & 0\end{pmatrix}.] Passo 3Agora \mathbf{A}^3 = \mathbf{A}^2\,\mathbf{A} = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ -1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\cdot0 + 1\cdot(-1) & -1\cdot1 + 1\cdot1 \\[6pt] -1\cdot0 + 0\cdot(-1) & -1\cdot1 + 0\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\\\ 0 & -1\end{pmatrix} = -\mathbf{I}.] Passo 4Sabendo que \mathbf{A}^3 = -\mathbf{I}, temos \mathbf{A}^4 = \mathbf{A}^3\,\mathbf{A} = -\mathbf{I}\,\mathbf{A} = -\mathbf{A},\quad \mathbf{A}^5 = \mathbf{A}^4\,\mathbf{A} = -\mathbf{A}^2,\quad \mathbf{A}^6 = \mathbf{A}^5\,\mathbf{A} = -\mathbf{A}^3 = \mathbf{I}, \mathbf{A}^7 = \mathbf{A}^6\,\mathbf{A} = \mathbf{I}\,\mathbf{A} = \mathbf{A}. Substituindo as matrizes já conhecidas: \mathbf{A}^4 = -\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1 \\\\ 1 & -1\end{pmatrix},\quad \mathbf{A}^5 = -\begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ -1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix}, \mathbf{A}^6 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad \mathbf{A}^7 = \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix}. Passo 5Como \mathbf{A}^6 = \mathbf{I}, as potências de \mathbf{A} são periódicas de período 6. Para n=2001 calculamos o resto da divisão de 2001 por 6: 2001 \bmod 6 = 3, logo \mathbf{A}^{2001} = \mathbf{A}^3 = -\mathbf{I} = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.] Resposta \displaystyle \mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ -1 & 0\end{pmatrix} \displaystyle \mathbf{A}^3 = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\\\ 0 & -1\end{pmatrix} \displaystyle \mathbf{A}^4 = \begin{pmatrix}0 & -1 \\\\ 1 & -1\end{pmatrix} \displaystyle \mathbf{A}^5 = \begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix} \displaystyle \mathbf{A}^6 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} \displaystyle \mathbf{A}^7 = \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix} \displaystyle \mathbf{A}^{2001} = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\\\ 0 & -1\end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosSeja \mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -1 & 1\end{array}\right]. a) Calcule \mathbf{A}^{2}, \mathbf{A}^{3}, \mathbf{A}^{4}, \mathbf{A}^{5}, \mathbf{A}^{6}, \mathbf{A}^{7}. b) Determine a matriz \mathbf{A}^{2001}. Verdadeiro ou falso? Justique. a) (-\mathbf{A})^{T}=-\left(\mathbf{A}^{T}\right) b) Se \mathbf{A} e \mathbf{B} são matrizes simétricas então \mathbf{A B}=\mathbf{B A} c) \mathrm{Se} \mathbf{A B}=\mathbf{0} então \mathbf{B A}=\mathbf{0} d) Se podemos efetuar o produto \mathbf{A A}, então \mathbf{A} é uma matriz quadrada. e) Cada coluna de \mathbf{A B} é uma combinação linear das colunas de \mathbf{B} usando como pesos os elementos da coluna correspondente de \mathbf{A}. f) A transposta de um produto de matrizes é igual ao produto de suas transpostas. g) Dada qualquer matriz quadrada \mathbf{A} temos \operatorname{tr} \mathbf{A}=\operatorname{tr}\left(\mathbf{A}^{T}\right) A matriz A=\left(\begin{array}{rrrrr}-1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2\end{array}\right) está na forma canônica de Jordan. Determine: (a) (1.0 \mathrm{pt}) os polinómios característico e mínimo de A. (b) (1.0 pt) a multiplicidade geométrica e o índice de cada autovalor. Classifique as afirmaçōs em verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta. A funçāo f: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definida por f\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2} é uma forma bilinear.