que já está na forma canônica de Jordan. O conteúdo é teoria de formas de Jordan: a partir dos tamanhos dos blocos, vamos encontrar o polinómio característico, o polinómio mínimo, as multiplicidades geométricas e os índices de cada autovalor.
Passo 2
Identificamos os blocos de Jordan de A:
– Para o autovalor \lambda=-1, há um único bloco de tamanho 3 (submatriz 3\times3 com uns na superdiagonal).
– Para o autovalor \lambda=-2, há dois blocos de tamanho 1 cada (duas entradas diagonais -2 sem uns na superdiagonal).
Passo 3
O polinómio característico \chi_A(\lambda) é o produto dos fatores (\lambda-\text{autovalor}) elevados ao tamanho total de blocos correspondentes:
\chi_A(\lambda)=(\lambda+1)^{3}\,(\lambda+2)^{2}.
Passo 4
O polinómio mínimo m_A(\lambda) é o produto de (\lambda-\text{autovalor}) elevados à maior dimensão de bloco para cada autovalor:
– Para \lambda=-1, o maior bloco tem dimensão 3.
– Para \lambda=-2, o maior bloco tem dimensão 1.
Logo,
m_A(\lambda)=(\lambda+1)^{3}\,(\lambda+2).
Passo 5
A multiplicidade geométrica de um autovalor é o número de blocos de Jordan desse autovalor, e o índice (ou ordem do bloco principal) é a dimensão do maior bloco:
– Para \lambda=-1: multiplicidade geométrica =1, índice =3.
– Para \lambda=-2: multiplicidade geométrica =2, índice =1.
Resposta
(a) \chi_A(\lambda)=(\lambda+1)^{3}(\lambda+2)^{2} e m_A(\lambda)=(\lambda+1)^{3}(\lambda+2).
(b) Para \lambda=-1: multiplicidade geométrica 1, índice 3. Para \lambda=-2: multiplicidade geométrica 2, índice 1.