A matriz A=\left(\begin{array}{rrrrr}-1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2\end{array}\right) está na forma canônica de Jordan. Determine:
(a) (1.0 \mathrm{pt}) os polinómios característico e mínimo de A.
(b) (1.0 pt) a multiplicidade geométrica e o índice de cada autovalor.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}
que já está na forma canônica de Jordan. O conteúdo é teoria de formas de Jordan: a partir dos tamanhos dos blocos, vamos encontrar o polinómio característico, o polinómio mínimo, as multiplicidades geométricas e os índices de cada autovalor.

Passo 2

Identificamos os blocos de Jordan de A:
– Para o autovalor \lambda=-1, há um único bloco de tamanho 3 (submatriz 3\times3 com uns na superdiagonal).
– Para o autovalor \lambda=-2, há dois blocos de tamanho 1 cada (duas entradas diagonais -2 sem uns na superdiagonal).

Passo 3

O polinómio característico \chi_A(\lambda) é o produto dos fatores (\lambda-\text{autovalor}) elevados ao tamanho total de blocos correspondentes:
\chi_A(\lambda)=(\lambda+1)^{3}\,(\lambda+2)^{2}.

Passo 4

O polinómio mínimo m_A(\lambda) é o produto de (\lambda-\text{autovalor}) elevados à maior dimensão de bloco para cada autovalor:
– Para \lambda=-1, o maior bloco tem dimensão 3.
– Para \lambda=-2, o maior bloco tem dimensão 1.
Logo,
m_A(\lambda)=(\lambda+1)^{3}\,(\lambda+2).

Passo 5

A multiplicidade geométrica de um autovalor é o número de blocos de Jordan desse autovalor, e o índice (ou ordem do bloco principal) é a dimensão do maior bloco:
– Para \lambda=-1: multiplicidade geométrica =1, índice =3.
– Para \lambda=-2: multiplicidade geométrica =2, índice =1.

Resposta

(a) \chi_A(\lambda)=(\lambda+1)^{3}(\lambda+2)^{2} e m_A(\lambda)=(\lambda+1)^{3}(\lambda+2).
(b) Para \lambda=-1: multiplicidade geométrica 1, índice 3. Para \lambda=-2: multiplicidade geométrica 2, índice 1.

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