Classifique as afirmaçōs em verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.
A funçāo f: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definida por f\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2} é uma forma bilinear.

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\quad f\bigl((x_1,y_1),(x_2,y_2)\bigr)=x_1y_1+x_2y_2
e pede para verificar se é uma forma bilinear. Para isso precisamos checar se f é linear em cada argumento, mantendo o outro fixo.

Passo 2

Verificação da aditividade no primeiro argumento. Tomemos \,u=(x_1,y_1), \,u'=(x'_1,y'_1) e \,v=(x_2,y_2). Então
u+u'=(x_1+x'_1,\;y_1+y'_1)
e
f(u+u',v) =(x_1+x'_1)(y_1+y'_1)+x_2y_2.
Ao expandir, obtemos
(x_1+x'_1)(y_1+y'_1) =x_1y_1 + x_1y'_1 + x'_1y_1 + x'_1y'_1,
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f(u+u',v) = x_1y_1 + x_1y'_1 + x'_1y_1 + x'_1y'_1 + x_2y_2.
Por outro lado,
f(u,v)+f(u',v) =(x_1y_1+x_2y_2)+(x'_1y'_1+x_2y_2) =x_1y_1 + x'_1y'_1 + 2\,x_2y_2.
Como em geral
x_1y'_1 + x'_1y_1 \neq 0 \quad\text{e}\quad 2\,x_2y_2 \neq x_2y_2,
vemos que
f(u+u',v)\neq f(u,v)+f(u',v),
logo f falha na aditividade em seu primeiro argumento.

Passo 3

Bastou mostrar que f não satisfaz
f(u+u',v)=f(u,v)+f(u',v),
portanto f não é linear nem no primeiro argumento e, consequentemente, não é bilinear.

Resposta

Falsa. A função não satisfaz a propriedade de aditividade em cada argumento, logo não é forma bilinear.

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