Seja \mathbf{F}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} o campo vetorial definido por \mathbf{F}(x, y)=\left(y^{2} e^{x+y}+1, y e^{x+y}(y+2)+1\right). Seja \boldsymbol{\lambda} o caminho cujo traço coincide com o arco da circunferência com centro em ( 2,2 ) e raio 1 , com ponto inicial em (3,2) e ponto final (2,1), percorrido em sentido anti-horário. Calcular a integral de linha
\int_{\boldsymbol{\lambda}} \mathbf{F} \cdot d \boldsymbol{\lambda} .

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pede-se calcular a integral de linha
\int_{\boldsymbol{\lambda}} \mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\lambda},
onde o campo vetorial é
\mathbf{F}(x,y)=\bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr)=\bigl(y^{2}e^{x+y}+1,\;y e^{x+y}(y+2)+1\bigr).
  • O caminho \boldsymbol{\lambda} tem traço igual ao arco da circunferência de centro (2,2) e raio 1, com ponto inicial (3,2) e ponto final (2,1), percorrido no sentido anti-horário.
Pergunta explícita:
  • Calcular o valor numérico da integral de linha acima ao longo do arco descrito.
Informações relevantes a serem usadas:
  • As componentes do campo são P(x,y)=y^{2}e^{x+y}+1 e Q(x,y)=y e^{x+y}(y+2)+1.
  • Os pontos inicial e final do caminho são (3,2) e (2,1), respectivamente.
  • O domínio do campo é todo \mathbb{R}^2 (logo simplesmente conexo), informação que será útil caso o campo seja conservativo.

Passo 2

Verificar se \mathbf{F} é um campo conservativo (isto é, se existe potencial \varphi com \nabla\varphi=\mathbf{F}). Para campos em \mathbb{R}^{2} com componentes P,Q, uma condição necessária e suficiente em domínios simplesmente conexos é
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Calculemos \dfrac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y)=y^{2}e^{x+y}+1, temos
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}e^{x+y}\bigr) = 2y\,e^{x+y} + y^{2}\,e^{x+y} = y e^{x+y}(2+y).
Calculemos \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Como Q(x,y)=y e^{x+y}(y+2)+1, temos
\frac{\partial Q}{\partial x} = y(y+2)\,\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x+y}\bigr) = y(y+2)\,e^{x+y} = y e^{x+y}(y+2).
Comparando, concluímos
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=y e^{x+y}(y+2).

Passo 3

Interpretação do passo anterior e consequência prática.
  • Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} em todo \mathbb{R}^{2} e o domínio é simplesmente conexo, o campo \mathbf{F} é conservativo: existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}.
  • Para campos conservativos, a integral de linha entre dois pontos independe do caminho que liga esses pontos. Portanto podemos calcular a integral apenas avaliando a diferença da potencial entre o ponto final e o ponto inicial:
\int_{\boldsymbol{\lambda}} \mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\lambda} = \varphi\bigl(\text{ponto final}\bigr)-\varphi\bigl(\text{ponto inicial}\bigr).

Passo 4

Encontrar a função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=y^{2}e^{x+y}+1 \quad\text{e}\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y)=y e^{x+y}(y+2)+1.
Integramos \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=y^{2}e^{x+y}+1 em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y)=\int\bigl(y^{2}e^{x+y}+1\bigr)\,dx = y^{2}e^{x+y}+x + C(y),
onde C(y) é uma função que depende só de y.

Passo 5

Determinar C(y) usando a condição sobre \partial \varphi/\partial y.
Calcule \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} a partir da expressão obtida:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}e^{x+y}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}(x) + C'(y) = \bigl(2y e^{x+y} + y^{2}e^{x+y}\bigr) + 0 + C'(y).
Agrupando:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=y e^{x+y}(2+y) + C'(y).
Mas sabemos que \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} deve ser igual a Q(x,y)=y e^{x+y}(y+2)+1. Igualando,
y e^{x+y}(y+2) + C'(y)=y e^{x+y}(y+2)+1.
Daí segue imediatamente
C'(y)=1.
Integrando C'(y)=1 obtemos
C(y)=y + \text{const}.
Podemos escolher a constante arbitrária igual a zero (não afeta a integral). Assim uma potencial conveniente é
\varphi(x,y)=y^{2}e^{x+y}+x+y.

Passo 6

Calcular \varphi nos pontos final e inicial e tomar a diferença.
Ponto inicial: (x,y)=(3,2). Então
\varphi(3,2)= (2)^{2}e^{3+2} + 3 + 2 = 4 e^{5} + 5.
Ponto final: (x,y)=(2,1). Então
\varphi(2,1)= (1)^{2}e^{2+1} + 2 + 1 = e^{3} + 3.
A integral de linha vale
\int_{\boldsymbol{\lambda}} \mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\lambda} = \varphi(2,1)-\varphi(3,2) = \bigl(e^{3}+3\bigr)-\bigl(4e^{5}+5\bigr).

Passo 7

Simplificar a expressão final.
Fazendo a subtração:
\varphi(2,1)-\varphi(3,2)=e^{3}+3-4e^{5}-5 = e^{3}-4e^{5}-2.
Portanto a integral pedida é \,e^{3}-4e^{5}-2\,.

Resposta

e^{3}-4e^{5}-2

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