Seja
o campo vetorial definido por
. Seja
o caminho cujo traço coincide com o arco da circunferência com centro em ( 2,2 ) e raio 1 , com ponto inicial em
e ponto final
, percorrido em sentido anti-horário. Calcular a integral de linha
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
- Pede-se calcular a integral de linha
onde o campo vetorial é
- O caminho
tem traço igual ao arco da circunferência de centro e raio , com ponto inicial e ponto final , percorrido no sentido anti-horário.
Pergunta explícita:
- Calcular o valor numérico da integral de linha acima ao longo do arco descrito.
Informações relevantes a serem usadas:
- As componentes do campo são
e . - Os pontos inicial e final do caminho são
e , respectivamente. - O domínio do campo é todo
(logo simplesmente conexo), informação que será útil caso o campo seja conservativo.
Passo 2
Verificar se
é um campo conservativo (isto é, se existe potencial
com
). Para campos em
com componentes
, uma condição necessária e suficiente em domínios simplesmente conexos é
Calculemos
. Como
, temos
Calculemos
. Como
, temos
Comparando, concluímos
Passo 3
Interpretação do passo anterior e consequência prática.
- Como
em todo e o domínio é simplesmente conexo, o campo é conservativo: existe uma função potencial tal que . - Para campos conservativos, a integral de linha entre dois pontos independe do caminho que liga esses pontos. Portanto podemos calcular a integral apenas avaliando a diferença da potencial entre o ponto final e o ponto inicial:
Passo 4
Encontrar a função potencial
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função que depende só de
.
Passo 5
Determinar
usando a condição sobre
.
Calcule
a partir da expressão obtida:
Agrupando:
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Igualando,
Daí segue imediatamente
Integrando
obtemos
Podemos escolher a constante arbitrária igual a zero (não afeta a integral). Assim uma potencial conveniente é
Passo 6
Calcular
nos pontos final e inicial e tomar a diferença.
Ponto inicial:
. Então
Ponto final:
. Então
A integral de linha vale
Passo 7
Simplificar a expressão final.
Fazendo a subtração:
Portanto a integral pedida é
.