Seja
o campo vetorial
.
(a) Demonstre que
é um campo conservativo.
(b) Para
e
inteiro, seja
o caminho seccionalmete de classe
com ponto inicial (
) e ponto final (
). Calcular o limite
(a) Demonstre que
(b) Para
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Campo vetorial dado:
com - Perguntas:
(a) Demonstrar queé um campo conservativo.
(b) Parae inteiro, seja um caminho seccionalmente de classe com ponto inicial e ponto final . Calcular - Observação necessária (retirada do enunciado): para que o ponto
faça sentido é preciso ter . Vou assumir que (caso contrário o problema, tal como enunciado, não é bem formulado porque não está definido).
Passo 2
O que significa “campo conservativo” e como provar na prática.
- Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial tal que - Uma ferramenta prática: se
e têm derivadas parciais contínuas em um domínio simplesmente conexo (como ), então é conservativo se e somente se as derivadas cruzadas coincidem:
Vou aplicar esse critério ao nosso
.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais cruzadas.
-
. Então -
. Então - Como
em todo e as derivadas parciais são contínuas, pelo critério em domínio simplesmente conexo segue que é conservativo.
Passo 4
Encontrar explicitamente uma função potencial
.
- Procuramos
tal que Integramos essa igualdade em relação a (trantando como constante): onde é uma “constante” de integração que pode depender de . - Agora impomos
. Calculamos Devemos ter isso igual a . Logo Assim é constante, e podemos escolher a constante zero para simplicidade. - Concluímos que uma função potencial é
(vou usar .)
Passo 5
Usar a propriedade de campo conservativo para avaliar integrais de linha e aplicar ao problema (b).
- Para um campo conservativo
, a integral de linha entre dois pontos e depende apenas dos pontos finais: “teorema fundamental para gradiente”: para qualquer curva de classe adequada de a contida no domínio onde está definida. - No nosso caso o ponto inicial é
e o ponto final é . Como está definida em todo , a integral ao longo de qualquer caminho seccionalmente de a vale
Passo 6
Calcular explicitamente a expressão da integral e o limite quando
.
- Avaliando
nos pontos: porque e (aqui usamos a hipótese ). - Portanto
- Tomando limite quando
, note que . Assim