Considere-se o campo vetorial \mathbf{F}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definido por
\mathbf{F}(x, y)=\left(15 x^{4}+6 x^{2} y^{3}+y, 6 x^{3} y^{2}+x+15 y^{4}\right) .
Seja \boldsymbol{\lambda} um caminho seccionalmete de classe \mathscr{C}^{1} com ponto inicial em (1,1) e ponto final (-1,-1). Calcular a integral de linha
\int_{\boldsymbol{\lambda}} \mathbf{F} \cdot d \boldsymbol{\lambda} .

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial e pede a integral de linha ao longo de qualquer curva \boldsymbol{\lambda} de classe \mathscr{C}^{1} que vá de (1,1) até (-1,-1). Os dados relevantes são:
\mathbf{F}(x,y)=\bigl(15x^{4}+6x^{2}y^{3}+y,\;6x^{3}y^{2}+x+15y^{4}\bigr),
o ponto inicial é (1,1) e o ponto final é (-1,-1). A integral pedida é
\int_{\boldsymbol{\lambda}}\mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\lambda}.

Passo 2

Ideia de solução (explicação didática): se \mathbf{F} for um campo conservativo (ou seja, existir uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}), então a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos pontos finais e iniciais, e vale
\int_{\boldsymbol{\lambda}}\mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\lambda}=\varphi(\text{fim})-\varphi(\text{início}).í
Uma forma prática de verificar se \mathbf{F}=(P,Q) é conservativo em \mathbb{R}^{2} (domínio simplesmente conexo) é checar se as derivadas parciais mistas coincidem:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Vou aplicar isso aqui.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais mistas. Primeiro identifique P e Q:
P(x,y)=15x^{4}+6x^{2}y^{3}+y,\qquad Q(x,y)=6x^{3}y^{2}+x+15y^{4}.
Agora calcule \dfrac{\partial P}{\partial y} e \dfrac{\partial Q}{\partial x}.
Derivando P em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\bigl(15x^{4}\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(6x^{2}y^{3}\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}(y) =0+6x^{2}\cdot 3y^{2}+1=18x^{2}y^{2}+1.
Derivando Q em relação a x:
\frac{\partial Q}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\bigl(6x^{3}y^{2}\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}(x)+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(15y^{4}\bigr) =6\cdot 3x^{2}y^{2}+1+0=18x^{2}y^{2}+1.
Como
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=18x^{2}y^{2}+1
em todo \mathbb{R}^{2}, e \mathbb{R}^{2} é simplesmente conexo, conclui-se que \mathbf{F} é conservativo e existe uma potencial \varphi(x,y) com \nabla\varphi=\mathbf{F}.

Passo 4

Encontrar a potencial \varphi. Quero \varphi tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=15x^{4}+6x^{2}y^{3}+y.
Integro essa igualdade em relação a x, tratando y como constante. A integração termo a termo dá:
\varphi(x,y)=\int\bigl(15x^{4}+6x^{2}y^{3}+y\bigr)\,dx =3x^{5}+2x^{3}y^{3}+xy+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (pois ao derivar em x ela some).

Passo 5

Determinar h(y) usando a segunda componente. Calcule \dfrac{\partial\varphi}{\partial y} a partir da expressão encontrada e iguale a Q(x,y).
Derivando \varphi em relação a y:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{5}+2x^{3}y^{3}+xy+h(y)\bigr) =2x^{3}\cdot 3y^{2}+x+h'(y)=6x^{3}y^{2}+x+h'(y).
Mas deve valer \dfrac{\partial\varphi}{\partial y}=Q(x,y)=6x^{3}y^{2}+x+15y^{4}. Igualando:
6x^{3}y^{2}+x+h'(y)=6x^{3}y^{2}+x+15y^{4}\quad\Longrightarrow\quad h'(y)=15y^{4}.
Integrando em relação a y:
h(y)=\int 15y^{4}\,dy=3y^{5}+C,
onde C é constante arbitrária. Assim a potencial completa é
\varphi(x,y)=3x^{5}+2x^{3}y^{3}+xy+3y^{5}+C.

Passo 6

Aplicar o Teorema Fundamental para campos conservativos: a integral depende só dos pontos finais. Portanto
\int_{\boldsymbol{\lambda}}\mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\lambda}=\varphi(-1,-1)-\varphi(1,1).
Calcule \varphi(1,1) e \varphi(-1,-1). Primeiro
\varphi(1,1)=3\cdot 1^{5}+2\cdot 1^{3}\cdot 1^{3}+1\cdot 1+3\cdot 1^{5}+C=3+2+1+3+C=9+C.
Agora
\varphi(-1,-1)=3(-1)^{5}+2(-1)^{3}(-1)^{3}+(-1)(-1)+3(-1)^{5}+C.
Calcule termo a termo: (-1)^{5}=-1, (-1)^{3}=-1. Então
\varphi(-1,-1)=3(-1)+2(-1)(-1)+1+3(-1)+C=-3+2+1-3+C=-3+C.
Portanto a diferença é
\varphi(-1,-1)-\varphi(1,1)=(-3+C)-(9+C)=-12.

Resposta

-12

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