Considere-se o campo vetorial
definido por
Seja
um caminho seccionalmete de classe
com ponto inicial em
e ponto final
. Calcular a integral de linha
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial e pede a integral de linha ao longo de qualquer curva
de classe
que vá de
até
. Os dados relevantes são:
o ponto inicial é
e o ponto final é
. A integral pedida é
Passo 2
Ideia de solução (explicação didática): se
for um campo conservativo (ou seja, existir uma função potencial
tal que
), então a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos pontos finais e iniciais, e vale
Uma forma prática de verificar se
é conservativo em
(domínio simplesmente conexo) é checar se as derivadas parciais mistas coincidem:
Vou aplicar isso aqui.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais mistas. Primeiro identifique
e
:
Agora calcule
e
.
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Como
em todo
, e
é simplesmente conexo, conclui-se que
é conservativo e existe uma potencial
com
.
Passo 4
Encontrar a potencial
. Quero
tal que
Integro essa igualdade em relação a
, tratando
como constante. A integração termo a termo dá:
onde
é uma função arbitrária de
(pois ao derivar em
ela some).
Passo 5
Determinar
usando a segunda componente. Calcule
a partir da expressão encontrada e iguale a
.
Derivando
em relação a
:
Mas deve valer
. Igualando:
Integrando em relação a
:
onde
é constante arbitrária. Assim a potencial completa é
Passo 6
Aplicar o Teorema Fundamental para campos conservativos: a integral depende só dos pontos finais. Portanto
Calcule
e
. Primeiro
Agora
Calcule termo a termo:
,
. Então
Portanto a diferença é