Esboce a onda periódica indicada. Determine o espectro de frequência de
.
[Sugestão: Utilize (2).]
[Sugestão: Utilize (2).]
Passo 1
O enunciado dá a função periódica
com período
definida por
e a condição de periodicidade
Pede-se:
- Esboçar a onda periódica
. - Determinar o espectro de frequência de
(isto é, a série de Fourier / coeficientes que mostram as linhas espectrais).
Informações relevantes listadas:
- Período
. - No intervalo básico
a função é . - A periodicidade estende esse trecho para todo
com período .
Passo 2
Entender como a função fica fora de
. Para
usa-se a periodicidade:
Como
temos para
Repetindo isso por todos os intervalos de comprimento
conclui-se que, globalmente,
Portanto a função é composta por “gomos” de seno todos com valor positivo, amplitude máxima
, e período
. Esboço (descrição para desenhar): no intervalo
um arco de seno positivo de amplitude
; no intervalo
outro arco igual (pois
repete), etc. Assim são picos positivos de altura
com largura
.
Passo 3
Escolher a representação de Fourier adequada. Como
, a frequência angular fundamental é
A série de Fourier em termos reais (frequências múltiplas de
) pode ser escrita como
onde, para a normalização em um período
,
Breve justificativa: essas fórmulas vêm da ortogonalidade das funções
no intervalo
.
Passo 4
Calcular
. Usar
em
:
Passo 5
Verificar os termos de seno (
). Observação de simetria: da expressão periódica obtida
segue que
é função par, isto é
(pode-se verificar usando a periodicidade:
). Para uma função par, todos os coeficientes
associados a
são zero porque esses senos são ímpares. Logo
Passo 6
Calcular
. Começamos da fórmula
Usar a identidade produto-para-soma
Então
onde
. Calcular
:
Se
é par,
e
. Se
é ímpar,
e
.
Nos nossos termos é sempre ímpar e
tem valor absoluto
(ímpar também). Assim
Nos nossos termos
Portanto
Simplificando:
logo
Passo 7
Escrever a série de Fourier (espectro) final. Como
, tem-se
Interpretação espectral em termos de exponenciais: frequências discretas
(com
). Coeficientes complexos
da forma
são
Ou seja, o espectro é discreto (linhas) em
com amplitudes dadas acima.
Resposta
Esboço: função periódica de período
, igual a
em
e repetida; equivale a
, picos positivos de amplitude
com período
.\n
Série de Fourier / espectro:
Série de Fourier / espectro:
Coeficientes complexos (linhas espectrais)
: