Esboce a onda periódica indicada. Determine o espectro de frequência de f.
f(x)=4 \operatorname{sen} x, 0<x<\pi ; f(x+\pi)=f(x)
[Sugestão: Utilize (2).]

Passo 1

O enunciado dá a função periódica f com período \pi definida por
f(x)=4\sin x,\qquad 0<x<\pi,
e a condição de periodicidade
f(x+\pi)=f(x)\\ \text{(para todo \(x\)).}
Pede-se:
  • Esboçar a onda periódica f.
  • Determinar o espectro de frequência de f (isto é, a série de Fourier / coeficientes que mostram as linhas espectrais).
Informações relevantes listadas:
  • Período T=\pi.
  • No intervalo básico 0<x<\pi a função é 4\sin x.
  • A periodicidade estende esse trecho para todo \mathbb{R} com período \pi.

Passo 2

Entender como a função fica fora de (0,\pi). Para x\in(\pi,2\pi) usa-se a periodicidade:
f(x)=f(x-\pi)=4\sin(x-\pi).
Como \sin(x-\pi)=-\sin x temos para x\in(\pi,2\pi)
f(x)=-4\sin x.
Repetindo isso por todos os intervalos de comprimento \pi conclui-se que, globalmente,
f(x)=4|\sin x|.
Portanto a função é composta por “gomos” de seno todos com valor positivo, amplitude máxima 4, e período T=\pi. Esboço (descrição para desenhar): no intervalo (0,\pi) um arco de seno positivo de amplitude 4; no intervalo (\pi,2\pi) outro arco igual (pois |\sin x| repete), etc. Assim são picos positivos de altura 4 com largura \pi.

Passo 3

Escolher a representação de Fourier adequada. Como T=\pi, a frequência angular fundamental é
\omega_0=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{\pi}=2.
A série de Fourier em termos reais (frequências múltiplas de \omega_0) pode ser escrita como
f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_n\cos(2n x)+B_n\sin(2n x)\bigr),
onde, para a normalização em um período [0,\pi],
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,dx,\qquad A_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos(2n x)\,dx,\qquad B_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin(2n x)\,dx.
Breve justificativa: essas fórmulas vêm da ortogonalidade das funções \{1,\cos(2n x),\sin(2n x)\} no intervalo [0,\pi].

Passo 4

Calcular a_0. Usar f(x)=4\sin x em [0,\pi]:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}4\sin x\,dx=\frac{4}{\pi}\bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{\pi} =\frac{4}{\pi}\bigl(-\cos\pi+\cos 0\bigr)=\frac{4}{\pi}\bigl(-(-1)+1\bigr)=\frac{8}{\pi}.

Passo 5

Verificar os termos de seno ( B_n). Observação de simetria: da expressão periódica obtida f(x)=4|\sin x| segue que f é função par, isto é f(-x)=f(x) (pode-se verificar usando a periodicidade: f(-x)=f(-x+\pi)=4\sin(\pi-x)=4\sin x=f(x)). Para uma função par, todos os coeficientes B_n associados a \sin(2n x) são zero porque esses senos são ímpares. Logo
B_n=0\quad\text{para todo }n\ge1.

Passo 6

Calcular A_n. Começamos da fórmula
A_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}4\sin x\cos(2n x)\,dx=\frac{8}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\cos(2n x)\,dx.
Usar a identidade produto-para-soma
\sin x\cos(2n x)=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin((2n+1)x)+\sin((1-2n)x)\bigr).
Então
A_n=\frac{8}{\pi}\cdot\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\bigl(\sin((2n+1)x)+\sin((1-2n)x)\bigr)\,dx =\frac{4}{\pi}\Bigl(I_{2n+1}+I_{1-2n}\Bigr),
onde I_k=\int_{0}^{\pi}\sin(kx)\,dx. Calcular I_k:
I_k=\bigl[-\tfrac{1}{k}\cos(kx)\bigr]_{0}^{\pi}=-\frac{\cos(k\pi)-\cos 0}{k}=\frac{1-\cos(k\pi)}{k}.
Se k é par, \cos(k\pi)=1 e I_k=0. Se k é ímpar, \cos(k\pi)=-1 e I_k=\dfrac{2}{k}.
Nos nossos termos 2n+1 é sempre ímpar e 1-2n=-(2n-1) tem valor absoluto 2n-1 (ímpar também). Assim
I_{2n+1}=\frac{2}{2n+1},\qquad I_{1-2n}=-\frac{2}{2n-1}.
Portanto
A_n=\frac{4}{\pi}\Bigl(\frac{2}{2n+1}-\frac{2}{2n-1}\Bigr)=\frac{8}{\pi}\Bigl(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n-1}\Bigr).
Simplificando:
\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n-1}=\frac{(2n-1)-(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)}=-\frac{2}{4n^2-1},
logo
A_n=\frac{8}{\pi}\cdot\Bigl(-\frac{2}{4n^2-1}\Bigr)=-\frac{16}{\pi(4n^2-1)}.

Passo 7

Escrever a série de Fourier (espectro) final. Como B_n=0, tem-se
\boxed{\,f(x)=\frac{8}{\pi}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{16}{\pi(4n^2-1)}\right)\cos(2n x)\, }.
Interpretação espectral em termos de exponenciais: frequências discretas \omega_k=2k (com k\in\mathbb{Z}). Coeficientes complexos c_k da forma f(x)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_k e^{i2k x} são
c_0=\frac{8}{\pi},\qquad c_{\pm n}=\frac{A_n}{2}=-\frac{8}{\pi(4n^2-1)}\quad(n\ge1).
Ou seja, o espectro é discreto (linhas) em \omega=0,\pm2,\pm4,\pm6,\dots com amplitudes dadas acima.

Resposta

Esboço: função periódica de período \pi, igual a 4\sin x em (0,\pi) e repetida; equivale a f(x)=4|\sin x|, picos positivos de amplitude 4 com período \pi.\n
Série de Fourier / espectro:
f(x)=\frac{8}{\pi}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{16}{\pi(4n^2-1)}\right)\cos(2n x).
Coeficientes complexos (linhas espectrais) \omega_k=2k:
c_0=\frac{8}{\pi},\qquad c_{\pm n}=-\frac{8}{\pi(4n^2-1)}\quad(n\ge1).

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