Nos Exercícios 40-45, calcule a integral.
\int_{0}^{1}\langle 2 t, 4 t,-\cos 3 t\rangle d t$

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral do vetor função no intervalo de 0 a 1. As informações dadas são:
  • A função vetorial é \langle 2 t,\,4 t,\,-\cos 3 t\rangle.
  • O intervalo de integração é [0,1].
    O que se deve encontrar é
\int_{0}^{1}\langle 2 t,\,4 t,\,-\cos 3 t\rangle d t.

Passo 2

Conceito e regra principal (explicação didática): a integral de uma função vetorial calcula-se componente a componente. Ou seja, se \langle f(t),g(t),h(t)\rangle é uma função vetorial, vale a propriedade linear
\int_{a}^{b}\langle f(t),g(t),h(t)\rangle dt=\Big\langle\int_{a}^{b}f(t)dt,\;\int_{a}^{b}g(t)dt,\;\int_{a}^{b}h(t)dt\Big\rangle.
Isto acontece porque a integração é uma operação linear: integra-se cada coordenada independentemente, respeitando a regra da constante e da soma.
Também serão usadas duas regras básicas de integrais:
  • Regra do poder: \displaystyle \int t^n dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C (para n\neq-1).
  • Regra da constante por fora: \displaystyle \int c\cdot f(t)\,dt=c\int f(t)\,dt.
  • Integral de cosseno com coeficiente linear: para a\neq0,
\int \cos(at)\,dt=\frac{1}{a}\sin(at)+C,
que pode ser obtida por substituição u=at.
Agora aplicamos isso componente a componente no nosso caso.

Passo 3

Primeira componente: integrar \displaystyle 2t de 0 a 1.
Usando a regra do poder e a constante por fora,
\int_{0}^{1}2t\,dt= \Big[ t^{2} \Big]_{0}^{1}=1^{2}-0^{2}=1.
Detalhes: \int 2t\,dt = 2\cdot\frac{t^{2}}{2}=t^{2}.

Passo 4

Segunda componente: integrar \displaystyle 4t de 0 a 1.
\int_{0}^{1}4t\,dt= \Big[2t^{2}\Big]_{0}^{1}=2\cdot1^{2}-0=2.
Detalhes: \int 4t\,dt = 4\cdot\frac{t^{2}}{2}=2t^{2}.

Passo 5

Terceira componente: integrar \displaystyle -\cos 3t de 0 a 1.
Faço por substituição ou lembrando a fórmula direta. Primeiro, \int \cos(3t)\,dt=\tfrac{1}{3}\sin(3t)+C. Logo,
\int_{0}^{1} -\cos(3t)\,dt = -\Big[\tfrac{1}{3}\sin(3t)\Big]_{0}^{1} = -\tfrac{1}{3}\big(\sin(3\cdot 1)-\sin(0)\big).
Como \sin(0)=0, isto fica
-\tfrac{1}{3}\sin 3.

Passo 6

Juntando as três componentes obtidas:
\int_{0}^{1}\langle 2 t,\,4 t,\,-\cos 3 t\rangle d t =\Big\langle 1,\;2,\; -\tfrac{1}{3}\sin 3\Big\rangle.

Resposta

\langle 1,\,2,\,-\tfrac{1}{3}\sin 3\rangle

Exercícios relacionados