Nos Exercícios 40-45, calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral do vetor função no intervalo de
a
. As informações dadas são:
- A função vetorial é
. - O intervalo de integração é
.
O que se deve encontrar é
Passo 2
Conceito e regra principal (explicação didática): a integral de uma função vetorial calcula-se componente a componente. Ou seja, se
é uma função vetorial, vale a propriedade linear
Isto acontece porque a integração é uma operação linear: integra-se cada coordenada independentemente, respeitando a regra da constante e da soma.
Também serão usadas duas regras básicas de integrais:
- Regra do poder:
(para ). - Regra da constante por fora:
. - Integral de cosseno com coeficiente linear: para
,
que pode ser obtida por substituição
.
Agora aplicamos isso componente a componente no nosso caso.
Passo 3
Primeira componente: integrar
de
a
.
Usando a regra do poder e a constante por fora,
Usando a regra do poder e a constante por fora,
Detalhes:
.
Passo 4
Segunda componente: integrar
de
a
.
Detalhes:
.
Passo 5
Terceira componente: integrar
de
a
.
Faço por substituição ou lembrando a fórmula direta. Primeiro, . Logo,
Faço por substituição ou lembrando a fórmula direta. Primeiro,
Como
, isto fica
Passo 6
Juntando as três componentes obtidas: