Seja \mathbf{x} tal que 202^{x}=4^{x+1}. Encontre a parte inteira de 15x.

Passo 1

O enunciado dá a equação exponencial
202^{x} = 4^{\,x+1},
pede para encontrar a parte inteira de 15x. Vamos usar propriedades de potências e logaritmos para resolver.

Passo 2

Reescrevemos 4^{\,x+1} como 4^x\cdot4 e dividimos ambos os lados por 4^x:
\frac{202^x}{4^x} = 4 \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{202}{4}\Bigr)^x = 4.

Passo 3

Basta agora aplicar logaritmo natural em ambos os lados. Da igualdade
\Bigl(\tfrac{202}{4}\Bigr)^x = 4
vem
x \,\ln\Bigl(\tfrac{202}{4}\Bigr) \;=\;\ln 4 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\ln 4}{\ln\bigl(\tfrac{202}{4}\bigr)}.

Passo 4

Note que \tfrac{202}{4} = \tfrac{101}{2}. Calculando aproximado:
\ln 4 = 2\ln 2 \approx 2\times0{,}6931 = 1{,}3863,
\ln\bigl(\tfrac{101}{2}\bigr) = \ln(50{,}5)\approx3{,}92197,
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x \approx \frac{1{,}3863}{3{,}92197}\approx0{,}3536.
Multiplicando por 15:
15x \approx 15\times0{,}3536 = 5{,}304.
A parte inteira de 15x é 5.

Resposta

5

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