Seja \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}. Uma função f(\mathbf{x}) é dita homogênea de grau n \in \mathbb{Z} se para todo t>0, f(t \mathbf{x})=t^{n} f(\mathbf{x}). Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o grau:
(f) f(x, y, z)=x^{2} e^{-\frac{y}{z}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Verificar se a função f(x,y,z)=x^{2}e^{-\frac{y}{z}} é homogênea segundo a definição dada.
  • Se for homogênea, determinar o grau (o inteiro n) tal que f(t\mathbf{x})=t^{n}f(\mathbf{x}) para todo t>0.
Informações fornecidas e observações óbvias do enunciado:
  • A função é f(x,y,z)=x^{2}e^{-\frac{y}{z}}.
  • A definição de homogeneidade usa escala t>0.
  • A expressão contém a razão \frac{y}{z}, então a função só está definida quando z\neq 0. Vou manter essa restrição de domínio: (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} com z\neq 0.

Passo 2

Recordando a definição (para aplicar depois): uma função f é homogênea de grau n se, para todo t>0 e todo ponto \mathbf{x} no domínio,
f(t\mathbf{x})=t^{n}f(\mathbf{x}).
Aqui escreverei explicitamente o que significa t\mathbf{x} no caso de três variáveis: \,t\mathbf{x}=(tx,ty,tz)\,.

Passo 3

Vamos analisar a estrutura da função em dois fatores separados, porque é uma técnica útil e didática:
  • O primeiro fator é x^{2}. Sabemos como potências escalares se comportam: para todo t,
(tx)^{2}=t^{2}x^{2}.
Logo x^{2} é homogênea de grau 2.
  • O segundo fator é e^{-\frac{y}{z}}. Observe a razão \frac{y}{z}. Se substituirmos (y,z) por (ty,tz) então a razão fica
\frac{ty}{tz}=\frac{y}{z}.
Assim a expressão -\dfrac{y}{z} (e, consequentemente, e^{-\frac{y}{z}}) não muda quando todas as variáveis são escaladas por t. Em termos de homogeneidade isso significa que e^{-\frac{y}{z}} é homogênea de grau 0 (fica invariante sob escala).
Portanto, heurística: produto de uma função homogênea de grau 2 (o x^{2}) por outra de grau 0 (o expoente que depende só da razão y/z) deve ser homogênea de grau 2+0=2. A seguir faço a verificação direta.

Passo 4

Faço a substituição direta na definição: calcular f(tx,ty,tz) e comparar com t^{n}f(x,y,z).
f(tx,ty,tz)=(tx)^{2}\,e^{-\frac{ty}{tz}}.
Agora simplifico cada parte. Primeiro,
(tx)^{2}=t^{2}x^{2}.
Depois, como explicado antes,
\frac{ty}{tz}=\frac{y}{z}\quad\Rightarrow\quad e^{-\frac{ty}{tz}}=e^{-\frac{y}{z}}.
Substituindo:
f(tx,ty,tz)=t^{2}x^{2}\,e^{-\frac{y}{z}}=t^{2}\bigl(x^{2}e^{-\frac{y}{z}}\bigr)=t^{2}f(x,y,z).

Passo 5

A identidade obtida mostra que, para todo t>0 e todo (x,y,z) com z\neq 0,
f(tx,ty,tz)=t^{2}f(x,y,z).
Pelo definição, isso prova que f é homogênea e que o grau é 2.
Observações finais rápidas e motivacionais: a parte crucial foi perceber que dependências por razões (como y/z) são homogêneas de grau zero — elas não mudam quando todas as variáveis são escaladas igualmente. Assim, ao ver uma função como produto de uma potência de variáveis por uma função de razões, dá para prever o grau somando os graus dos fatores. Isso é uma dica útil para provas quando o tempo é curto. Vai dar certo!

Resposta

Homogênea de grau 2

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