Seja
. Uma função
é dita homogênea de grau
se para todo
. Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o grau:
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Verificar se a função
é homogênea segundo a definição dada. - Se for homogênea, determinar o grau (o inteiro
) tal que para todo .
Informações fornecidas e observações óbvias do enunciado:
- A função é
. - A definição de homogeneidade usa escala
. - A expressão contém a razão
, então a função só está definida quando . Vou manter essa restrição de domínio: com .
Passo 2
Recordando a definição (para aplicar depois): uma função
é homogênea de grau
se, para todo
e todo ponto
no domínio,
Aqui escreverei explicitamente o que significa
no caso de três variáveis:
.
Passo 3
Vamos analisar a estrutura da função em dois fatores separados, porque é uma técnica útil e didática:
- O primeiro fator é
. Sabemos como potências escalares se comportam: para todo ,
Logo
é homogênea de grau
.
- O segundo fator é
. Observe a razão . Se substituirmos por então a razão fica
Assim a expressão
(e, consequentemente,
) não muda quando todas as variáveis são escaladas por
. Em termos de homogeneidade isso significa que
é homogênea de grau
(fica invariante sob escala).
Portanto, heurística: produto de uma função homogênea de grau
(o
) por outra de grau
(o expoente que depende só da razão
) deve ser homogênea de grau
. A seguir faço a verificação direta.
Passo 4
Faço a substituição direta na definição: calcular
e comparar com
.
Agora simplifico cada parte. Primeiro,
Depois, como explicado antes,
Substituindo:
Passo 5
A identidade obtida mostra que, para todo
e todo
com
,
Pelo definição, isso prova que
é homogênea e que o grau é
.
Observações finais rápidas e motivacionais: a parte crucial foi perceber que dependências por razões (como
) são homogêneas de grau zero — elas não mudam quando todas as variáveis são escaladas igualmente. Assim, ao ver uma função como produto de uma potência de variáveis por uma função de razões, dá para prever o grau somando os graus dos fatores. Isso é uma dica útil para provas quando o tempo é curto. Vai dar certo!
Resposta
Homogênea de grau