1. Mostre que a função x \in \mathbb{R} \mapsto x^{2} \cdot \chi_{\mathrm{Q}}(x) é derivável apenas em x=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=x^{2}\,\chi_{\mathbb{Q}}(x),
onde \chi_{\mathbb{Q}}(x)=1 se x\in\mathbb{Q} e \chi_{\mathbb{Q}}(x)=0 se x\notin\mathbb{Q}.
O que devemos mostrar: provar que f é derivável apenas em x=0 (ou seja, derivável em 0 e não derivável em qualquer a\neq0).

Passo 2

Lembrete rápido e estratégia (passo-a-passo do que vou usar):
  • Definição de derivada num ponto a: f é derivável em a se o limite
\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
existe finito; esse limite é f'(a).
  • Ferramentas úteis aqui:
    • Teorema do confronto (squeeze) para mostrar limites nulos quando os quocientes ficam dominados por algo que vai a zero.
    • Densidade de \mathbb{Q} e de \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} (isto é, existem sequências de racionais e de irracionais que aproximam qualquer real a).
  • Plano:
    1. Mostrar diretamente que f é derivável em 0 e encontrar f'(0).
    2. Para a\neq0, construir sequências (uma de racionais e outra de irracionais) convergindo para a e mostrar que os respectivos quocientes diferem (ou não têm limite finito). Assim a derivada em a não existe.

Passo 3

Provar que f é derivável em 0 e calcular f'(0).
Cálculo do quociente diferencial em 0:
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{f(h)-0}{h}=\frac{h^{2}\chi_{\mathbb{Q}}(h)}{h}=h\chi_{\mathbb{Q}}(h).
Agora observe a desigualdade absoluta
\left|h\chi_{\mathbb{Q}}(h)\right|\le |h|
porque \chi_{\mathbb{Q}}(h) vale 0 ou 1. Como \lim_{h\to0}|h|=0, pelo princípio do confronto (squeeze) segue que
\lim_{h\to0}h\chi_{\mathbb{Q}}(h)=0.
Portanto o limite do quociente existe e vale 0. Conclusão: f é derivável em 0 e
f'(0)=0.

Passo 4

Mostrar que f não é derivável em a para qualquer a\neq0. Vou separar em dois subcasos porque a expressão f(a) depende se a é racional ou irracional; em ambos os casos usarei a densidade de racionais e irracionais para construir sequências.
Fato usado sem prova detalhada (mas fácil de aceitar): para qualquer real a existem sequências de números racionais (q_n) e sequências de números irracionais (r_n) tais que q_n\to a e r_n\to a.

Passo 5

Caso 1: a irracional e a\neq0.
Aqui f(a)=0 (porque \chi_{\mathbb{Q}}(a)=0). Considere duas sequências quaisquer que tendam para a:
  • Sequência de irracionais r_n\to a. Para cada r_n temos f(r_n)=0, logo o quociente fica
\frac{f(r_n)-f(a)}{r_n-a}=\frac{0-0}{r_n-a}=0.
Portanto, ao aproximar a por irracionais, os quocientes tendem a 0.
  • Sequência de racionais q_n\to a. Para cada q_n temos f(q_n)=q_n^2. Então
\frac{f(q_n)-f(a)}{q_n-a}=\frac{q_n^2-0}{q_n-a}=\frac{q_n^2-a^2+a^2}{q_n-a}=(q_n+a)+\frac{a^2}{q_n-a}.
Mas há uma maneira mais direta e limpa: note que, usando fatoração,
\frac{q_n^2-0}{q_n-a}=\frac{q_n^2-a^2+a^2}{q_n-a}=(q_n+a)+\frac{a^2}{q_n-a}.
No entanto, mais simples: reescreve-se
\frac{q_n^2-0}{q_n-a}=\frac{q_n^2-a^2}{q_n-a}+\frac{a^2}{q_n-a}=(q_n+a)+\frac{a^2}{q_n-a}.
Quando q_n\to a, o termo (q_n+a)\to 2a e o termo \dfrac{a^2}{q_n-a} tende a 0 somente se a=0; aqui a\neq0, então \dfrac{a^2}{q_n-a} não tem limite finito (fica muito grande em módulo). Mas há uma observação ainda mais direta que evita o termo divergente: usar apenas a identidade
\frac{q_n^2-0}{q_n-a}=\frac{q_n^2-a^2+a^2}{q_n-a}=(q_n+a)+\frac{a^2}{q_n-a},
que mostra que, independentemente do caminho, o comportamento não coincide com 0. Uma forma mais simples para a conclusão: calcular o limite quando q_n se aproxima de a (com q_n\neq a); se considerarmos apenas a parte principal,
\frac{q_n^2-0}{q_n-a}=\frac{(q_n-a)(q_n+a)+a^2}{q_n-a}=q_n+a+\frac{a^2}{q_n-a},
e o termo \dfrac{a^2}{q_n-a} explode em módulo quando q_n\to a, portanto os quocientes ao longo de racionais não tendem para 0. Mais concretamente, existe uma subsequência de racionais para a qual os quocientes tendem a 2a (tomando racionais com diferença pequena mas equilibrada) — o ponto chave é que o limite ao aproximar por racionais é diferente de 0.
Resultado prático: ao aproximar a por irracionais o quociente tende a 0, ao aproximar por racionais o limite não é 0 (em particular pode ser visto que os valores tendem para 2a se o termo \dfrac{a^2}{q_n-a} for controlado, ou ao menos não coincidem com 0). Como aparecem dois comportamentos distintos, o limite total
\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
não existe. Portanto f não é derivável em a.
(Comentário intuitivo: para a irracional, quocientes ao aproximar por irracionais são sempre 0, mas ao aproximar por racionais os quocientes refletem o comportamento de x^2 e não convergem para 0, logo não há limite único.)

Passo 6

Caso 2: a racional e a\neq0.
Agora f(a)=a^2. De novo, use duas aproximações:
  • Sequência de racionais q_n\to a. Para q_n racionais (com q_n\neq a) tem-se
\frac{f(q_n)-f(a)}{q_n-a}=\frac{q_n^2-a^2}{q_n-a}=q_n+a \xrightarrow{n\to\infty} 2a.
Portanto ao aproximar por racionais o quociente tende a 2a.
  • Sequência de irracionais r_n\to a. Para cada r_n irracional tem-se f(r_n)=0, logo
\frac{f(r_n)-f(a)}{r_n-a}=\frac{0-a^2}{r_n-a}=-\frac{a^2}{r_n-a}.
Quando r_n\to a esse quociente não tem limite finito: por exemplo, se escolher a subsequência de irracionais com r_n>a para todo n, então r_n-a>0 e -\dfrac{a^2}{r_n-a}\to -\infty; se escolher irracionais com r_n<a então o quociente tende a +\infty. Em particular não existe um limite finito ao aproximar por irracionais.
Conclusão: há uma sequência (racionais) cujo limite do quociente é 2a e outra (irracionais) que dá quocientes que ficam arbitrariamente grandes em módulo, logo não há limite único para o quociente quando x\to a. Assim f não é derivável em a.

Passo 7

Resumo da lógica e conclusão final:
  • Em 0: o quociente \dfrac{f(h)-f(0)}{h}=h\chi_{\mathbb{Q}}(h) tende a 0 quando h\to0, então f é derivável em 0 e f'(0)=0.
  • Em qualquer a\neq0: construindo aproximações por racionais e irracionais vê-se que os limites dos quocientes não coincidem (um deles tende a 2a ou diverge), portanto o limite total não existe e f não é derivável em a.

Resposta

A função é derivável apenas em x=0.

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