Seja \mathcal{A}=\left(\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right) uma matriz do tipo 3 \times 3. O traço da matriz \mathcal{A} é o número: \operatorname{Tr}(\mathcal{A})=a_{1}+b_{2}+c_{3}.
Mostre que:
\operatorname{Tr}\left(\mathcal{D}^{T} \mathcal{A D}\right)=\operatorname{Tr}(\mathcal{A}), se \mathcal{D} é ortogonal .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dada a matriz \mathcal{A}=\left(\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right) (uma matriz 3\times3).
  • Definição do traço: \operatorname{Tr}(\mathcal{A})=a_{1}+b_{2}+c_{3} (isto é, soma dos elementos da diagonal).
  • Dada uma matriz \mathcal{D} que é ortogonal.
O que se pede:
  • Mostrar que \operatorname{Tr}\left(\mathcal{D}^{T}\mathcal{A}\mathcal{D}\right)=\operatorname{Tr}(\mathcal{A}) quando \mathcal{D} é ortogonal.

Passo 2

Explicar e justificar os fatos que vamos usar (as “ferramentas” — cada uma delas será demonstrada ou justificada de modo simples).
  1. Definição e consequência de ortogonalidade:
  • A matriz \mathcal{D} é ortogonal significa, por definição, que
\mathcal{D}^{T}\mathcal{D}=\mathcal{I},
onde \mathcal{I} é a matriz identidade 3\times3. Multiplicar por \mathcal{D}^{T} à esquerda ou por \mathcal{D} à direita também dá \mathcal{D}\mathcal{D}^{T}=\mathcal{I}. Em palavras: as colunas (e as linhas) de \mathcal{D} formam um sistema ortonormal.
  1. Propriedade do traço — linearidade:
  • O traço é linear: para quaisquer matrizes quadradas X,Y e escalar \lambda,
\operatorname{Tr}(X+Y)=\operatorname{Tr}(X)+\operatorname{Tr}(Y),\qquad \operatorname{Tr}(\lambda X)=\lambda\operatorname{Tr}(X).
Isto decorre da definição como soma dos elementos diagonais.
  1. Propriedade cíclica do traço (essencial aqui):
  • Para matrizes quadradas compatíveis, vale
\operatorname{Tr}(XY)=\operatorname{Tr}(YX).
Justificativa curta (componente a componente): escrevendo a soma dos elementos diagonais,
\operatorname{Tr}(XY)=\sum_{i}(XY)_{ii}=\sum_{i}\sum_{j}X_{ij}Y_{ji}=\sum_{j}\sum_{i}Y_{ji}X_{ij}=\sum_{j}(YX)_{jj}=\operatorname{Tr}(YX).
  • Essa propriedade estende-se a três fatores: \operatorname{Tr}(XYZ)=\operatorname{Tr}(ZXY)=\operatorname{Tr}(YZX) por aplicações sucessivas da relação anterior.
Essas propriedades são básicas e já são suficientes para resolver o problema.

Passo 3

Aplicar as propriedades para manipular \operatorname{Tr}\left(\mathcal{D}^{T}\mathcal{A}\mathcal{D}\right) passo a passo.
Começamos com a expressão dada:
\operatorname{Tr}\!\left(\mathcal{D}^{T}\mathcal{A}\mathcal{D}\right).
Usando a propriedade cíclica do traço (movendo o último fator para frente) obtemos
\operatorname{Tr}\!\left(\mathcal{D}^{T}\mathcal{A}\mathcal{D}\right)=\operatorname{Tr}\!\left(\mathcal{D}\,\mathcal{D}^{T}\mathcal{A}\right).
Aqui apliquei \operatorname{Tr}(XY)=\operatorname{Tr}(YX) com X=\mathcal{D}^{T}\mathcal{A} e Y=\mathcal{D}, o que é permitido porque todas as matrizes são 3\times3.

Passo 4

Continuar usando associatividade e a ortogonalidade de \mathcal{D}.
Pela associatividade da multiplicação matricial,
\operatorname{Tr}\!\left(\mathcal{D}\,\mathcal{D}^{T}\mathcal{A}\right)=\operatorname{Tr}\!\left((\mathcal{D}\,\mathcal{D}^{T})\mathcal{A}\right).
Como \mathcal{D} é ortogonal, \mathcal{D}\,\mathcal{D}^{T}=\mathcal{I}. Substituindo,
\operatorname{Tr}\!\left((\mathcal{D}\,\mathcal{D}^{T})\mathcal{A}\right)=\operatorname{Tr}\!\left(\mathcal{I}\,\mathcal{A}\right).
E como \mathcal{I}\mathcal{A}=\mathcal{A}, tem-se
\operatorname{Tr}\!\left(\mathcal{I}\,\mathcal{A}\right)=\operatorname{Tr}(\mathcal{A}).

Passo 5

Resumo da cadeia de igualdades (tudo junto, para fixar):
\operatorname{Tr}\!\left(\mathcal{D}^{T}\mathcal{A}\mathcal{D}\right) =\operatorname{Tr}\!\left(\mathcal{D}\,\mathcal{D}^{T}\mathcal{A}\right) =\operatorname{Tr}\!\left((\mathcal{D}\,\mathcal{D}^{T})\mathcal{A}\right) =\operatorname{Tr}(\mathcal{I}\mathcal{A}) =\operatorname{Tr}(\mathcal{A}).
Portanto a igualdade desejada está demonstrada. (Se quiser ver de um jeito “mais hands-on”, dá pra fazer a prova elemento a elemento expandindo a soma do traço; o resultado é o mesmo porque a ortogonalidade faz aparecer a identidade.)

Resposta

\operatorname{Tr}\!\left(\mathcal{D}^{T}\mathcal{A}\mathcal{D}\right)=\operatorname{Tr}(\mathcal{A})

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