Seja \mathcal{A}=\left(\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right) uma matriz do tipo 3 \times 3. O traço da matriz \mathcal{A} é o número: \operatorname{Tr}(\mathcal{A})=a_{1}+b_{2}+c_{3}.
Mostre que: \operatorname{Tr}\left(\mathcal{D}^{T} \mathcal{A D}\right)=\operatorname{Tr}(\mathcal{A}), se \mathcal{D} é ortogonal .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
Definição do traço: \operatorname{Tr}(\mathcal{A})=a_{1}+b_{2}+c_{3} (isto é, soma dos elementos da diagonal).
Dada uma matriz \mathcal{D} que é ortogonal.
O que se pede:
Mostrar que \operatorname{Tr}\left(\mathcal{D}^{T}\mathcal{A}\mathcal{D}\right)=\operatorname{Tr}(\mathcal{A}) quando \mathcal{D} é ortogonal.
Passo 2
Explicar e justificar os fatos que vamos usar (as “ferramentas” — cada uma delas será demonstrada ou justificada de modo simples).
Definição e consequência de ortogonalidade:
A matriz \mathcal{D} é ortogonal significa, por definição, que
\mathcal{D}^{T}\mathcal{D}=\mathcal{I},
onde \mathcal{I} é a matriz identidade 3\times3. Multiplicar por \mathcal{D}^{T} à esquerda ou por \mathcal{D} à direita também dá \mathcal{D}\mathcal{D}^{T}=\mathcal{I}. Em palavras: as colunas (e as linhas) de \mathcal{D} formam um sistema ortonormal.
Propriedade do traço — linearidade:
O traço é linear: para quaisquer matrizes quadradas X,Y e escalar \lambda,
Essa propriedade estende-se a três fatores: \operatorname{Tr}(XYZ)=\operatorname{Tr}(ZXY)=\operatorname{Tr}(YZX) por aplicações sucessivas da relação anterior.
Essas propriedades são básicas e já são suficientes para resolver o problema.
Passo 3
Aplicar as propriedades para manipular \operatorname{Tr}\left(\mathcal{D}^{T}\mathcal{A}\mathcal{D}\right) passo a passo.
Aqui apliquei \operatorname{Tr}(XY)=\operatorname{Tr}(YX) com X=\mathcal{D}^{T}\mathcal{A} e Y=\mathcal{D}, o que é permitido porque todas as matrizes são 3\times3.
Passo 4
Continuar usando associatividade e a ortogonalidade de \mathcal{D}.
Portanto a igualdade desejada está demonstrada. (Se quiser ver de um jeito “mais hands-on”, dá pra fazer a prova elemento a elemento expandindo a soma do traço; o resultado é o mesmo porque a ortogonalidade faz aparecer a identidade.)