Seja \mathcal{A}=\left(\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right) uma matriz do tipo 3 \times 3. O traço da matriz \mathcal{A} é o número: \operatorname{Tr}(\mathcal{A})=a_{1}+b_{2}+c_{3}.
Mostre que: \left(\operatorname{Tr} \mathcal{A}^{T}\right)^{2} \leq 3 \operatorname{Tr}\left(\mathcal{A} \mathcal{A}^{T}\right) e a igualdade ocorre se, e só se, existe \lambda \in \mathbb{R} tal que \mathcal{A}=\lambda I.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Dá a matriz \mathcal{A}=\begin{pmatrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{pmatrix}.
Dá a definição do traço: \operatorname{Tr}(\mathcal{A})=a_{1}+b_{2}+c_{3}.
e caracterizar quando ocorre igualdade, isto é, provar que a igualdade acontece se, e somente se, existe \lambda\in\mathbb{R} tal que \mathcal{A}=\lambda I.
Passo 2
Primeiras observações úteis (fatos que vamos usar) e explicação deles:
O traço de uma matriz e o traço de sua transposta coincidem. Assim
Caracterização da igualdade (mostrar “se, e só se”):
Quando ocorre igualdade na cadeia de desigualdades acima? Para termos igualdade final precisamos que as duas desigualdades usadas sejam iguaisidades simultaneamente:
Igualdade em Cauchy–Schwarz: para d e u teremos igualdade iff d é proporcional a u, isto é, existe \mu\in\mathbb{R} tal que
(a_{1},b_{2},c_{3})=\mu(1,1,1).
Isso significa a_{1}=b_{2}=c_{3}=\mu: todas as entradas da diagonal são iguais.
Igualdade na comparação entre soma da diagonal e soma de todos os quadrados: isto exige que todos os quadrados fora da diagonal sejam zero, ou seja, todas as entradas fora da diagonal são zero:
a_{2}=a_{3}=b_{1}=b_{3}=c_{1}=c_{2}=0.
Juntando (1) e (2) obtemos que \mathcal{A} é a matriz diagonal com todas as entradas diagonais iguais a \mu, ou seja \mathcal{A}=\mu I. Assim igualdade implica que existe \lambda\in\mathbb{R} (tomando \lambda=\mu) tal que \mathcal{A}=\lambda I.