Seja \mathcal{A}=\left(\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right) uma matriz do tipo 3 \times 3. O traço da matriz \mathcal{A} é o número: \operatorname{Tr}(\mathcal{A})=a_{1}+b_{2}+c_{3}.
Mostre que:
\left(\operatorname{Tr} \mathcal{A}^{T}\right)^{2} \leq 3 \operatorname{Tr}\left(\mathcal{A} \mathcal{A}^{T}\right) e a igualdade ocorre se, e só se, existe \lambda \in \mathbb{R} tal que \mathcal{A}=\lambda I.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a matriz \mathcal{A}=\begin{pmatrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{pmatrix}.
  • Dá a definição do traço: \operatorname{Tr}(\mathcal{A})=a_{1}+b_{2}+c_{3}.
  • Pede para mostrar a desigualdade
\left(\operatorname{Tr}\mathcal{A}^{T}\right)^{2} \leq 3\,\operatorname{Tr}\!\left(\mathcal{A}\mathcal{A}^{T}\right)
e caracterizar quando ocorre igualdade, isto é, provar que a igualdade acontece se, e somente se, existe \lambda\in\mathbb{R} tal que \mathcal{A}=\lambda I.

Passo 2

Primeiras observações úteis (fatos que vamos usar) e explicação deles:
  • O traço de uma matriz e o traço de sua transposta coincidem. Assim
\operatorname{Tr}(\mathcal{A}^{T})=\operatorname{Tr}(\mathcal{A})=a_{1}+b_{2}+c_{3}.
Isto porque o traço é soma das entradas da diagonal e a transposição apenas troca a_{ij} por a_{ji}, não alterando a diagonal.
  • A entrada diagonal i-ésima da matriz \mathcal{A}\mathcal{A}^{T} é a soma dos quadrados das entradas da i-ésima linha de \mathcal{A}. Explicitamente,
(\mathcal{A}\mathcal{A}^{T})_{ii}=\sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2}.
Logo o traço de \mathcal{A}\mathcal{A}^{T} é a soma de todos os quadrados das entradas de \mathcal{A}:
\operatorname{Tr}\!\left(\mathcal{A}\mathcal{A}^{T}\right)=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2}.
Esse é um ponto importante: \operatorname{Tr}(\mathcal{A}\mathcal{A}^{T}) é simplesmente a soma dos nove quadrados a_1^2,b_1^2,\dots,c_3^2.

Passo 3

Aplicar a desigualdade de Cauchy–Schwarz de forma direta (a ideia: comparar soma dos diagonais com soma dos quadrados):
Defina o vetor dos elementos da diagonal
d=(a_{1},\,b_{2},\,c_{3})\in\mathbb{R}^{3}
e o vetor de uns
u=(1,1,1)\in\mathbb{R}^{3}.
O produto escalar d\cdot u é exatamente a soma das entradas da diagonal:
d\cdot u = a_{1}+b_{2}+c_{3} = \operatorname{Tr}(\mathcal{A}^{T}).
A desigualdade de Cauchy–Schwarz diz que, para quaisquer vetores x,y\in\mathbb{R}^3,
(x\cdot y)^2 \le (x\cdot x)\,(y\cdot y).
Aplicando com x=d e y=u obtemos
\left(\operatorname{Tr}(\mathcal{A}^{T})\right)^{2} = (d\cdot u)^{2} \le (d\cdot d)\,(u\cdot u).
Agora calcule d\cdot d e u\cdot u:
d\cdot d = a_{1}^{2}+b_{2}^{2}+c_{3}^{2},\qquad u\cdot u = 1^{2}+1^{2}+1^{2}=3.
Portanto temos a desigualdade intermediária
\left(\operatorname{Tr}(\mathcal{A}^{T})\right)^{2} \le 3\left(a_{1}^{2}+b_{2}^{2}+c_{3}^{2}\right).

Passo 4

Comparar a soma dos quadrados da diagonal com a soma de todos os quadrados das entradas (isso fecha para a desigualdade pedida):
Como todos os termos a_{ij}^{2} são não-negativos,
a_{1}^{2}+b_{2}^{2}+c_{3}^{2} \le \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2} = \operatorname{Tr}\!\left(\mathcal{A}\mathcal{A}^{T}\right).
Multiplicando por 3 e usando a desigualdade obtida no Passo 3 resulta
\left(\operatorname{Tr}(\mathcal{A}^{T})\right)^{2} \le 3\left(a_{1}^{2}+b_{2}^{2}+c_{3}^{2}\right) \le 3\,\operatorname{Tr}\!\left(\mathcal{A}\mathcal{A}^{T}\right).
Isto é exatamente
\left(\operatorname{Tr}(\mathcal{A}^{T})\right)^{2} \le 3\,\operatorname{Tr}\!\left(\mathcal{A}\mathcal{A}^{T}\right),
como pedido.

Passo 5

Caracterização da igualdade (mostrar “se, e só se”):
  • Quando ocorre igualdade na cadeia de desigualdades acima? Para termos igualdade final precisamos que as duas desigualdades usadas sejam iguaisidades simultaneamente:
    1. Igualdade em Cauchy–Schwarz: para d e u teremos igualdade iff d é proporcional a u, isto é, existe \mu\in\mathbb{R} tal que
    (a_{1},b_{2},c_{3})=\mu(1,1,1).
    Isso significa a_{1}=b_{2}=c_{3}=\mu: todas as entradas da diagonal são iguais.
    1. Igualdade na comparação entre soma da diagonal e soma de todos os quadrados: isto exige que todos os quadrados fora da diagonal sejam zero, ou seja, todas as entradas fora da diagonal são zero:
    a_{2}=a_{3}=b_{1}=b_{3}=c_{1}=c_{2}=0.
  • Juntando (1) e (2) obtemos que \mathcal{A} é a matriz diagonal com todas as entradas diagonais iguais a \mu, ou seja \mathcal{A}=\mu I. Assim igualdade implica que existe \lambda\in\mathbb{R} (tomando \lambda=\mu) tal que \mathcal{A}=\lambda I.
  • Reciprocamente, se \mathcal{A}=\lambda I então
    \operatorname{Tr}(\mathcal{A}^{T})=\operatorname{Tr}(\mathcal{A})=3\lambda, \qquad \operatorname{Tr}\!\left(\mathcal{A}\mathcal{A}^{T}\right)=\operatorname{Tr}(\lambda^{2}I)=3\lambda^{2}.
    Logo
    \left(\operatorname{Tr}(\mathcal{A}^{T})\right)^{2}=(3\lambda)^{2}=9\lambda^{2}=3\cdot(3\lambda^{2})=3\,\operatorname{Tr}\!\left(\mathcal{A}\mathcal{A}^{T}\right),
    ou seja, a igualdade de fato ocorre. Portanto a condição é também suficiente.
Assim mostramos que a igualdade ocorre se, e só se, existe \lambda\in\mathbb{R} com \mathcal{A}=\lambda I.

Resposta

\left(\operatorname{Tr}\mathcal{A}^{T}\right)^{2} \leq 3\,\operatorname{Tr}\!\left(\mathcal{A}\mathcal{A}^{T}\right)
A igualdade ocorre se, e só se, existe \lambda\in\mathbb{R} tal que \mathcal{A}=\lambda I.

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