Seja \mathcal{A}=\left(\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right) uma matriz do tipo 3 \times 3. O traço da matriz \mathcal{A} é o número: \operatorname{Tr}(\mathcal{A})=a_{1}+b_{2}+c_{3}.
Mostre que:
\operatorname{Tr}(\mathcal{A B})=\operatorname{Tr}(\mathcal{B A}).

Passo 1

O enunciado dá uma matriz 3\times3
\mathcal{A}=\begin{pmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{pmatrix}
e define o traço como
\operatorname{Tr}(\mathcal{A})=a_{1}+b_{2}+c_{3}.
O que se pede: mostrar que, para qualquer matriz quadrada \mathcal{B} 3\times3, vale
\operatorname{Tr}(\mathcal{A B})=\operatorname{Tr}(\mathcal{B A}).
Informações relevantes que temos e vamos usar:
  • Definição do traço de uma matriz quadrada 3\times3: soma dos elementos da diagonal principal.
  • Regra de multiplicação de matrizes (produto em termos de somas de produtos de entradas).
  • Propriedades elementares de soma e multiplicação de números reais (comutatividade da multiplicação e reordenação de somas).

Passo 2

Primeiro vamos escrever as entradas de \mathcal{A} e \mathcal{B} de forma indexada, que é a linguagem natural para trabalhar com somas:
\mathcal{A}=(a_{ij})_{1\le i,j\le3},\qquad \mathcal{B}=(b_{ij})_{1\le i,j\le3}.
Aqui a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j de \mathcal{A}; o mesmo para b_{ij} em \mathcal{B}.
A definição do traço fica
\operatorname{Tr}(\mathcal{A})=\sum_{i=1}^{3} a_{ii}.
A regra de multiplicação de matrizes, componente a componente, diz:
(\mathcal{A}\mathcal{B})_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,b_{kj}.
Expliquei cada peça: o produto na posição (i,j) é a soma, sobre k, do produto do elemento da linha i de \mathcal{A} pelo elemento da coluna j de \mathcal{B}.

Passo 3

Agora escrevo a expressão do traço de \mathcal{A}\mathcal{B} usando a fórmula do produto:
\operatorname{Tr}(\mathcal{A}\mathcal{B})=\sum_{i=1}^{3} (\mathcal{A}\mathcal{B})_{ii} =\sum_{i=1}^{3}\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,b_{ki}.
Aqui troquei j por i porque estamos pegando a diagonal (i,i). Em notação compacta:
\operatorname{Tr}(\mathcal{A}\mathcal{B})=\sum_{i=1}^{3}\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,b_{ki}.
Observe que isso é uma soma dupla sobre os índices i e k de termos escalares a_{ik}b_{ki}.

Passo 4

Calculo o traço de \mathcal{B}\mathcal{A} da mesma maneira:
\operatorname{Tr}(\mathcal{B}\mathcal{A})=\sum_{i=1}^{3} (\mathcal{B}\mathcal{A})_{ii} =\sum_{i=1}^{3}\sum_{k=1}^{3} b_{ik}\,a_{ki}.
Em notação compacta:
\operatorname{Tr}(\mathcal{B}\mathcal{A})=\sum_{i=1}^{3}\sum_{k=1}^{3} b_{ik}\,a_{ki}.

Passo 5

Agora explico por que as duas somas são iguais. Note que em \operatorname{Tr}(\mathcal{B}\mathcal{A}) os índices i e k são índices “dummies” (ou seja, variáveis de soma que podem ser renomeadas sem mudar o valor da soma). Se eu trocar os nomes i\leftrightarrow k em \operatorname{Tr}(\mathcal{B}\mathcal{A}), obtenho
\operatorname{Tr}(\mathcal{B}\mathcal{A})=\sum_{k=1}^{3}\sum_{i=1}^{3} b_{ki}\,a_{ik}.
Como a multiplicação de números escalares é comutativa ( b_{ki}a_{ik}=a_{ik}b_{ki}), posso reescrever:
\operatorname{Tr}(\mathcal{B}\mathcal{A})=\sum_{i=1}^{3}\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,b_{ki}.
Mas este último é exatamente o que obtivemos para \operatorname{Tr}(\mathcal{A}\mathcal{B}).

Passo 6

Portanto, pelas igualdades e pela renomeação de índices, concluímos
\operatorname{Tr}(\mathcal{A}\mathcal{B})=\sum_{i,k} a_{ik}\,b_{ki}=\operatorname{Tr}(\mathcal{B}\mathcal{A}).
As propriedades usadas foram apenas: (i) definição de produto de matrizes em termos de somas, (ii) definição de traço como soma da diagonal, (iii) possibilidade de renomear índices de soma e (iv) comutatividade da multiplicação escalar.

Passo 7

Um exemplo numérico rápido para ver “na prática” (só para ganhar confiança): seja
\mathcal{A}=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&2&0\\[4pt]0&0&3\end{pmatrix}, \qquad \mathcal{B}=\begin{pmatrix}0&1&0\\[4pt]0&0&1\\[4pt]1&0&0\end{pmatrix}.
Calcula-se \mathcal{A}\mathcal{B}=\begin{pmatrix}0&1&0\\[4pt]0&0&2\\[4pt]3&0&0\end{pmatrix} e \mathcal{B}\mathcal{A}=\begin{pmatrix}0&2&0\\[4pt]0&0&3\\[4pt]1&0&0\end{pmatrix}. Em ambos os casos a soma dos elementos da diagonal é 0, logo \operatorname{Tr}(\mathcal{A}\mathcal{B})=\operatorname{Tr}(\mathcal{B}\mathcal{A}) nesse exemplo concreto, conforme a propriedade provada.]

Resposta

\operatorname{Tr}(\mathcal{A B})=\operatorname{Tr}(\mathcal{B A})

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