Seja \mathcal{A}=\left(\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right) uma matriz do tipo 3 \times 3. O traço da matriz \mathcal{A} é o número: \operatorname{Tr}(\mathcal{A})=a_{1}+b_{2}+c_{3}.
Expliquei cada peça: o produto na posição (i,j) é a soma, sobre k, do produto do elemento da linha i de \mathcal{A} pelo elemento da coluna j de \mathcal{B}.
Passo 3
Agora escrevo a expressão do traço de \mathcal{A}\mathcal{B} usando a fórmula do produto:
Agora explico por que as duas somas são iguais. Note que em \operatorname{Tr}(\mathcal{B}\mathcal{A}) os índices i e k são índices “dummies” (ou seja, variáveis de soma que podem ser renomeadas sem mudar o valor da soma). Se eu trocar os nomes i\leftrightarrow k em \operatorname{Tr}(\mathcal{B}\mathcal{A}), obtenho
As propriedades usadas foram apenas: (i) definição de produto de matrizes em termos de somas, (ii) definição de traço como soma da diagonal, (iii) possibilidade de renomear índices de soma e (iv) comutatividade da multiplicação escalar.
Passo 7
Um exemplo numérico rápido para ver “na prática” (só para ganhar confiança): seja
Calcula-se \mathcal{A}\mathcal{B}=\begin{pmatrix}0&1&0\\[4pt]0&0&2\\[4pt]3&0&0\end{pmatrix} e \mathcal{B}\mathcal{A}=\begin{pmatrix}0&2&0\\[4pt]0&0&3\\[4pt]1&0&0\end{pmatrix}. Em ambos os casos a soma dos elementos da diagonal é 0, logo \operatorname{Tr}(\mathcal{A}\mathcal{B})=\operatorname{Tr}(\mathcal{B}\mathcal{A}) nesse exemplo concreto, conforme a propriedade provada.]