Em cada afirmação a seguir, responda se é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justifique. Se for falsa, apresente um contraexemplo.
(5 pontos) As projeções ortogonais de
sobre
e sobre
são iguais, se
.
(5 pontos) As projeções ortogonais de
Passo 1
O enunciado pergunta se as projeções ortogonais de
sobre
e de
sobre
são iguais, sob a hipótese
.
Informações dadas:
-
e são vetores quaisquer (podem ser em ). -
é um escalar com .
O que é pedido:
- Determinar se é verdadeira ou falsa a afirmação
“As projeções ortogonais desobre e sobre são iguais, se .” - Se for verdadeira: justificar. Se for falsa: dar contraexemplo.
Passo 2
Definição e fórmula da projeção ortogonal (explicadinha):
- A projeção ortogonal de um vetor
sobre um vetor não-nulo é o vetor em direção a que representa a componente de ao longo de . - A fórmula padrão é
onde:
-
é o produto interno (produto escalar) entre e ; -
é o produto interno de por si próprio, que é igual à norma ao quadrado ; - o cociente
é um escalar que dá quanto de está em . - Observação importante: a projeção só está definida quando o vetor sobre o qual se projeta é diferente de zero (por isso precisamos de
e, no caso de projetar em , que , o que é garantido por e ).
Passo 3
Calcular a projeção de
sobre
e comparar com
.
Usando a fórmula:
Agora desenvolvendo e simplificando termo a termo:
-
porque o escalar pode sair do produto interno. -
.
Substituindo,
Continuando a simplificação (mostrando passo a passo as cancelas):
Como
, pode-se cancelar
em numerador e denominador:
Passo 4
Interpretação e observações finais (dicas para a prova):
- O fator escalar
“cancela” na expressão da projeção, por isso trocar por (com ) não altera a projeção de . - É crucial que
: se , então e a projeção sobre o vetor zero não está definida. - Isso vale para qualquer vetor
e qualquer vetor e escalar . Mesmo que seja negativo, o sinal desaparece ao quadrado e a projeção fica igual. - Exemplo numérico rápido para fixar: tome
, e . -
. -
. - Conferido: são iguais.
-
Resposta
Verdadeira.