Em cada afirmação a seguir, responda se é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justifique. Se for falsa, apresente um contraexemplo.
(5 pontos) As projeções ortogonais de v sobre u e sobre c u são iguais, se c \neq 0.

Passo 1

O enunciado pergunta se as projeções ortogonais de v sobre u e de v sobre c u são iguais, sob a hipótese c\neq 0.
Informações dadas:
  • v e u são vetores quaisquer (podem ser em \mathbb{R}^n).
  • c é um escalar com c\neq 0.
O que é pedido:
  • Determinar se é verdadeira ou falsa a afirmação
    “As projeções ortogonais de v sobre u e sobre c u são iguais, se c \neq 0.”
  • Se for verdadeira: justificar. Se for falsa: dar contraexemplo.

Passo 2

Definição e fórmula da projeção ortogonal (explicadinha):
  • A projeção ortogonal de um vetor v sobre um vetor não-nulo u é o vetor em direção a u que representa a componente de v ao longo de u.
  • A fórmula padrão é
\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{v\cdot u}{u\cdot u}\,u,
onde:
  • v\cdot u é o produto interno (produto escalar) entre v e u;
  • u\cdot u é o produto interno de u por si próprio, que é igual à norma ao quadrado \|u\|^2;
  • o cociente \dfrac{v\cdot u}{u\cdot u} é um escalar que dá quanto de u está em v.
  • Observação importante: a projeção só está definida quando o vetor sobre o qual se projeta é diferente de zero (por isso precisamos de u\neq 0 e, no caso de projetar em c u, que c u\neq 0, o que é garantido por c\neq 0 e u\neq 0).

Passo 3

Calcular a projeção de v sobre c u e comparar com \operatorname{proj}_{u}(v).
Usando a fórmula:
\operatorname{proj}_{c u}(v) = \frac{v\cdot (c u)}{(c u)\cdot(c u)}\,(c u).
Agora desenvolvendo e simplificando termo a termo:
  • v\cdot(c u)=c\,(v\cdot u) porque o escalar pode sair do produto interno.
  • (c u)\cdot(c u)=c^2\,(u\cdot u).
    Substituindo,
\operatorname{proj}_{c u}(v) = \frac{c\,(v\cdot u)}{c^2\,(u\cdot u)}\,(c u).
Continuando a simplificação (mostrando passo a passo as cancelas):
\operatorname{proj}_{c u}(v) = \frac{c\,(v\cdot u)}{c^2\,(u\cdot u)}\cdot c\,u = \frac{c\cdot c\,(v\cdot u)}{c^2\,(u\cdot u)}\,u = \frac{c^2\,(v\cdot u)}{c^2\,(u\cdot u)}\,u.
Como c\neq 0, pode-se cancelar c^2 em numerador e denominador:
\operatorname{proj}_{c u}(v)=\frac{v\cdot u}{u\cdot u}\,u=\operatorname{proj}_{u}(v).

Passo 4

Interpretação e observações finais (dicas para a prova):
  • O fator escalar c “cancela” na expressão da projeção, por isso trocar u por c u (com c\neq 0) não altera a projeção de v.
  • É crucial que c\neq 0: se c=0, então c u=0 e a projeção sobre o vetor zero não está definida.
  • Isso vale para qualquer vetor v e qualquer vetor u\neq 0 e escalar c\neq 0. Mesmo que c seja negativo, o sinal desaparece ao quadrado e a projeção fica igual.
  • Exemplo numérico rápido para fixar: tome u=(1,0), v=(2,3) e c=5.
    • \operatorname{proj}_{u}(v)=\dfrac{(2,3)\cdot(1,0)}{(1,0)\cdot(1,0)}(1,0)=\dfrac{2}{1}(1,0)=(2,0).
    • \operatorname{proj}_{5u}(v)=\dfrac{(2,3)\cdot(5,0)}{(5,0)\cdot(5,0)}(5,0) =\dfrac{10}{25}(5,0)=\dfrac{10}{25}\cdot5(1,0)=(2,0).
    • Conferido: são iguais.

Resposta

Verdadeira.

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