Seja \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) o espaço dos polinômios de grau \leq 3 com operações canônicas. Considere os polinômios p(x)=1+x^{2}, q_{1}(x)=1, q_{2}(x)=1+x e q_{3}(x)=1+x+x^{2}. Existem a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R} tais que
p(x)=a_{1} q_{1}(x)+a_{2} q_{2}(x)+a_{3} q_{3}(x) ?

Passo 1

O enunciado dá os polinômios
p(x)=1+x^{2},\quad q_{1}(x)=1,\quad q_{2}(x)=1+x,\quad q_{3}(x)=1+x+x^{2},
e pergunta se existem a_{1},a_{2},a_{3}\in\mathbb{R} tais que
p(x)=a_{1}q_{1}(x)+a_{2}q_{2}(x)+a_{3}q_{3}(x).
As informações relevantes são os coeficientes de cada polinômio (termos constantes, de x e de x^{2}). A pergunta é se p pertence ao subespaço gerado por q_{1},q_{2},q_{3} e, se sim, encontrar os coeficientes a_{1},a_{2},a_{3}.

Passo 2

Escrevemos explicitamente a combinação linear procurada:
a_{1}q_{1}(x)+a_{2}q_{2}(x)+a_{3}q_{3}(x)=a_{1}\cdot 1 + a_{2}(1+x) + a_{3}(1+x+x^{2}).
Isso é só substituir cada q_{i} pela sua expressão e multiplicar pelos escalares a_{i}.

Passo 3

Agora expandimos e agrupamos termos por potências de x. A soma do lado direito é
a_{1} + a_{2}(1+x) + a_{3}(1+x+x^{2}) = (a_{1}+a_{2}+a_{3}) + (a_{2}+a_{3})x + (a_{3})x^{2}.
Expliquei: juntei todos os termos constantes em (a_{1}+a_{2}+a_{3}), os termos em x em (a_{2}+a_{3}) e os termos em x^{2} em a_{3}.

Passo 4

Dois polinômios são iguais se, e somente se, seus coeficientes correspondentes das mesmas potências são iguais. Igualando os coeficientes de p(x)=1+x^{2} com os da expressão acima obtemos o sistema:
\begin{cases} \text{coeficiente de }1:& 1 = a_{1}+a_{2}+a_{3},\\[4pt] \text{coeficiente de }x:& 0 = a_{2}+a_{3},\\[4pt] \text{coeficiente de }x^{2}:& 1 = a_{3}. \end{cases}]

Passo 5

Resolvo o sistema passo a passo. Da terceira equação vem imediatamente
a_{3}=1.
Substituindo em 0=a_{2}+a_{3} temos
0=a_{2}+1\quad\Rightarrow\quad a_{2}=-1.
Finalmente, substituindo a_{2}=-1 e a_{3}=1 na primeira equação 1=a_{1}+a_{2}+a_{3}
1=a_{1}+(-1)+1 \quad\Rightarrow\quad 1=a_{1}.
Portanto os valores são a_{1}=1, a_{2}=-1, a_{3}=1.

Passo 6

Concluímos que existem a_{1},a_{2},a_{3} satisfazendo a igualdade; encontramos uma solução única. Observação didática rápida: a unicidade aqui vem do fato de que, ao comparar coeficientes, o sistema resultante teve solução única. Em termos de espaços vetoriais, q_{1},q_{2},q_{3} geram um subespaço de dimensão 3 em \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) e p pertence ao span desses vetores. Dica para prova: sempre escreva a combinação, agrupe por potências de x e iguale coeficientes — é o jeito mais direto.

Resposta

a_{1}=1
a_{2}=-1
a_{3}=1

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