Denote V=\mathbb{R}^{3} com operações usuais. O conjunto W=\left\{(a, b,-a) \in \mathbb{R}^{3} ; a, b \in \mathbb{R}\right\} é um subespaço vetorial de V ?

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{3} com as operações usuais e o subconjunto
W=\{(a,b,-a)\in\mathbb{R}^{3}\;|\;a,b\in\mathbb{R}\}.
A pergunta é: W é um subespaço vetorial de V?

Passo 2

Primeiro, lembrando a definição prática de subespaço: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se (i) W contém o vetor zero, (ii) W é fechado sob adição (soma de dois vetores de W pertence a W) e (iii) W é fechado sob multiplicação por escalar (produto de um escalar por um vetor de W pertence a W). Vou usar exatamente essas três checagens, explicando cada variável usada.
Um elemento genérico de W tem a forma (a,b,-a) onde a e b são números reais.

Passo 3

Verificação do vetor zero: escolha a=0 e b=0. Então o vetor (0,0,0) pertence a W porque
(0,0,0)=(0,0,-0)\in W.
Logo, W não é vazio e contém o vetor zero, satisfazendo (i).

Passo 4

Fechamento por adição: tome dois vetores arbitrários em W,
u=(a_1,b_1,-a_1)\quad\text{e}\quad v=(a_2,b_2,-a_2),
com a_1,b_1,a_2,b_2\in\mathbb{R}. Calcule a soma:
u+v=(a_1+a_2,\;b_1+b_2,\;-a_1-a_2).
Agora observe que se definirmos a'=a_1+a_2 e b'=b_1+b_2, ambos em \mathbb{R}, então
u+v=(a',b',-a'),
que é da forma geral de um elemento de W. Portanto u+v\in W. Isso mostra a propriedade (ii).

Passo 5

Fechamento por multiplicação por escalar: tome um escalar \lambda\in\mathbb{R} e um vetor u=(a_1,b_1,-a_1)\in W. Calcule
\lambda u=(\lambda a_1,\;\lambda b_1,\;-\lambda a_1).
Se definirmos a'=\lambda a_1 e b'=\lambda b_1 (que são reais), então
\lambda u=(a',b',-a'),
ou seja, \lambda u\in W. Isso prova a propriedade (iii).

Passo 6

Como W contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de V.

Passo 7

Comentário didático extra (útil para a prova): podemos ver explicitamente que qualquer vetor de W se escreve como combinação linear
(a,b,-a)=a(1,0,-1)+b(0,1,0),
logo W=\mathrm{span}\{(1,0,-1),(0,1,0)\}. Os vetores (1,0,-1) e (0,1,0) são linearmente independentes, então \dim W=2 e W é um plano passando pela origem em \mathbb{R}^3. Isso ajuda a visualizar e a justificar rapidamente que W é subespaço.

Resposta

Sim.

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