Denote
com operações usuais. O conjunto
é um subespaço vetorial de
?
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
com as operações usuais e o subconjunto
A pergunta é:
é um subespaço vetorial de
?
Passo 2
Primeiro, lembrando a definição prática de subespaço: um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se (i)
contém o vetor zero, (ii)
é fechado sob adição (soma de dois vetores de
pertence a
) e (iii)
é fechado sob multiplicação por escalar (produto de um escalar por um vetor de
pertence a
). Vou usar exatamente essas três checagens, explicando cada variável usada.
Um elemento genérico de tem a forma
onde
e
são números reais.
Um elemento genérico de
Passo 3
Verificação do vetor zero: escolha
e
. Então o vetor
pertence a
porque
Logo,
não é vazio e contém o vetor zero, satisfazendo (i).
Passo 4
Fechamento por adição: tome dois vetores arbitrários em
,
com
. Calcule a soma:
Agora observe que se definirmos
e
, ambos em
, então
que é da forma geral de um elemento de
. Portanto
. Isso mostra a propriedade (ii).
Passo 5
Fechamento por multiplicação por escalar: tome um escalar
e um vetor
. Calcule
Se definirmos
e
(que são reais), então
ou seja,
. Isso prova a propriedade (iii).
Passo 6
Como
contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 7
Comentário didático extra (útil para a prova): podemos ver explicitamente que qualquer vetor de
se escreve como combinação linear
logo
. Os vetores
e
são linearmente independentes, então
e
é um plano passando pela origem em
. Isso ajuda a visualizar e a justificar rapidamente que
é subespaço.
Resposta
Sim.