Verifique, em cada item abaixo, se o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço V (com operações usuais).
(b) V=\mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}), \quad W=\left\{p(t) \in \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) ; p^{\prime}\left(t_{0}\right)=0\right. para algum t_{0} \in \mathbb{R} fixado \}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) (polinômios reais de grau menor ou igual a n) e o subconjunto
W=\{p(t)\in\mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) \mid p'(t_{0})=0\},
onde t_{0}\in\mathbb{R} é um ponto fixado. A pergunta é: verificar se W é um subespaço vetorial de V (com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar).

Passo 2

Lembra do que precisamos checar para decidir se um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço: devemos verificar três propriedades básicas:
  1. W não é vazio (ou equivalentemente contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob soma: se p,q\in W então p+q\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se p\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha p\in W.
    Se as três valem, W é subespaço. Vou checar cada uma com calma e explicar os passos usados.

Passo 3

Verificar que W não é vazio (ou seja, contém o vetor zero).
O polinômio nulo (denotado por 0) pertence a \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}). A derivada do polinômio nulo é o polinômio nulo, logo
0'(t_{0})=0.
Portanto 0\in W. Conclusão: W não é vazio.

Passo 4

Verificar fechamento por soma.
Sejam p e q polinômios em W. Isso significa, por definição de W, que
p'(t_{0})=0\quad\text{e}\quad q'(t_{0})=0.
Usamos aqui uma propriedade fundamental da derivada: a operação de derivação é linear sobre polinômios, isto é, para quaisquer polinômios p e q vale
(p+q)' = p' + q'.
Aplicando isso no ponto t_{0} obtemos
(p+q)'(t_{0}) = p'(t_{0}) + q'(t_{0}) = 0 + 0 = 0.
Logo p+q\in W. Assim a soma de dois elementos de W fica em W.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação por escalar.
Seja p\in W e \alpha\in\mathbb{R}. Novamente pela linearidade da derivada temos
(\alpha p)' = \alpha p'.
Avaliando em t_{0}
(\alpha p)'(t_{0}) = \alpha\, p'(t_{0}) = \alpha\cdot 0 = 0.
Portanto \alpha p\in W. Assim W é fechado pela multiplicação por escalar.

Passo 6

Conclusão principal e observação extra útil para a prova.
Das verificações anteriores, W contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar; portanto W é um subespaço vetorial de V.
Uma observação adicional que ajuda a entender a estrutura: defina a aplicação linear
L:\mathcal{P}_{n}(\mathbb{R})\to\mathbb{R},\qquad L(p)=p'(t_{0}).
A linearidade de L vem da linearidade da derivada. O conjunto W é exatamente o núcleo de L, isto é W=\ker L. Como L não é a aplicação zero (por exemplo L(t)=1, já que (t)'(t_{0})=1), temos \operatorname{rank}L=1 e, pelo teorema dimensão-imagem-núcleo, \dim W = \dim \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) - 1 = (n+1)-1 = n. Isso não era pedido, mas é um bom reforço: W é um subespaço de dimensão n.

Resposta

Sim. W é um subespaço vetorial de V. (Além disso, \dim W = n.)

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