Verifique, em cada item abaixo, se o subconjunto
é um subespaço vetorial do espaço
(com operações usuais).
(b)
para algum
fixado
.
(b)
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
(polinômios reais de grau menor ou igual a
) e o subconjunto
onde
é um ponto fixado. A pergunta é: verificar se
é um subespaço vetorial de
(com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar).
Passo 2
Lembra do que precisamos checar para decidir se um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço: devemos verificar três propriedades básicas:
-
não é vazio (ou equivalentemente contém o vetor zero). -
é fechado sob soma: se então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Se as três valem,é subespaço. Vou checar cada uma com calma e explicar os passos usados.
Passo 3
Verificar que
não é vazio (ou seja, contém o vetor zero).
O polinômio nulo (denotado por ) pertence a
. A derivada do polinômio nulo é o polinômio nulo, logo
O polinômio nulo (denotado por
Portanto
. Conclusão:
não é vazio.
Passo 4
Verificar fechamento por soma.
Sejam e
polinômios em
. Isso significa, por definição de
, que
Sejam
Usamos aqui uma propriedade fundamental da derivada: a operação de derivação é linear sobre polinômios, isto é, para quaisquer polinômios
e
vale
Aplicando isso no ponto
obtemos
Logo
. Assim a soma de dois elementos de
fica em
.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação por escalar.
Seja e
. Novamente pela linearidade da derivada temos
Seja
Avaliando em
dá
Portanto
. Assim
é fechado pela multiplicação por escalar.
Passo 6
Conclusão principal e observação extra útil para a prova.
Das verificações anteriores, contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar; portanto
é um subespaço vetorial de
.
Das verificações anteriores,
Uma observação adicional que ajuda a entender a estrutura: defina a aplicação linear
A linearidade de
vem da linearidade da derivada. O conjunto
é exatamente o núcleo de
, isto é
. Como
não é a aplicação zero (por exemplo
, já que
), temos
e, pelo teorema dimensão-imagem-núcleo,
. Isso não era pedido, mas é um bom reforço:
é um subespaço de dimensão
.
Resposta
Sim.
é um subespaço vetorial de
. (Além disso,
.)