Seja \mathcal{R} a região plana dos pontos (x, y) \in \mathbb{R}^{2} tais que
\left\{\begin{array}{l} x \geq 0 \\\ y \geq 0 \\\ x+5 y \leq 20 \\\ x+y \leq 5 \end{array}\right.
(a) Esboce a região \mathcal{R}.
(b) Considere z=2 x+3 y e determine (x, y) \in \mathcal{R} tal que z tem o maior valor possível.
(c) Considere z=2 x+3 y, com (x, y) \in \mathcal{R}, e determine o maior valor possível de z.
Passo 1
O enunciado define a região planar \mathcal{R} pelos quatro requisitos
\left\{\begin{array}{l} x \geq 0,\\[4pt] y \geq 0,\\[4pt] x+5y \leq 20,\\[4pt] x+y \leq 5, \end{array}\right.
e faz três pedidos:
(a) esboçar a região \mathcal{R};
(b) para z=2x+3y, determinar o(s) ponto(s) (x,y)\in\mathcal{R} onde z é máximo;
(c) determinar o maior valor possível de z quando (x,y)\in\mathcal{R}.
As informações relevantes dadas são exatamente as quatro desigualdades acima e a função objetivo z=2x+3y. Não há outras informações externas.]
Passo 2
Vamos esboçar a região: primeiro identificamos as retas que formam as fronteiras das desigualdades.
As duas retas importantes são
x+5y=20
e
x+y=5.
Para esboçar cada reta é útil achar os interceptos com os eixos.
Como também temos x\ge 0 e y\ge 0, estamos no primeiro quadrante. Agora vamos achar a interseção entre as duas retas para localizar um vértice potencial.
Passo 3
Determinamos a interseção entre as retas resolvendo o sistema
Logo a interseção é o ponto \bigl(\tfrac{5}{4},\tfrac{15}{4}\bigr).]
Passo 4
Agora identificamos os vértices do polígono factível (a região limitada pelas desigualdades).
O ponto (0,0) obviamente satisfaz todas as desigualdades.
Na interseção do eixo y=0 com x+y=5 temos (5,0) (pois este é o ponto onde a reta toca o eixo x dentro do primeiro quadrante).
Na interseção do eixo x=0 com x+5y=20 temos (0,4).
Finalmente, a interseção das duas retas é \bigl(\tfrac{5}{4},\tfrac{15}{4}\bigr), encontrada no passo anterior.
É fácil ver que o conjunto das soluções é o polígono convexo com vértices, em ordem, (0,0), (5,0), \bigl(\tfrac{5}{4},\tfrac{15}{4}\bigr), (0,4). Esse polígono é exatamente a região \mathcal{R}. Assim o esboço consiste em desenhar essas quatro arestas no primeiro quadrante e sombrear o polígono formado.
Passo 5
Explicação didática sobre como maximizar z=2x+3y na região: quando a região é um polígono convexo e a função a maximizar é linear, o valor máximo (se existir e a região for compacta) ocorre em algum vértice do polígono. Intuição geométrica: as linhas de nível de z são retas do tipo 2x+3y=\text{constante}; ao deslocar essa reta paralelamente até tocar a região pela última vez, esse toque será num vértice. Portanto basta avaliar z nos vértices.
Passo 6
Vamos calcular z=2x+3y em cada vértice, passo a passo.
Em (0,0):
z=2\cdot 0+3\cdot 0=0.
Em (5,0):
z=2\cdot 5+3\cdot 0=10.
Em (0,4):
z=2\cdot 0+3\cdot 4=12.
Em \bigl(\tfrac{5}{4},\tfrac{15}{4}\bigr):
calculemos com cuidado:
Observação: \tfrac{55}{4}=13{,}75, que é maior que os outros valores obtidos.
Passo 7
Concluímos que o maior valor de z sobre \mathcal{R} é \tfrac{55}{4}, atingido no vértice \bigl(\tfrac{5}{4},\tfrac{15}{4}\bigr). Isso responde (b) e (c). O esboço pedido em (a) é o polígono convexo com vértices mencionados, no primeiro quadrante.
Resposta
(a) Região \mathcal{R} é o polígono convexo com vértices (0,0), (5,0), \bigl(\tfrac{5}{4},\tfrac{15}{4}\bigr) e (0,4).
(b) \bigl(x,y\bigr)=\bigl(\tfrac{5}{4},\tfrac{15}{4}\bigr).
(c) \displaystyle z_{\max}=\tfrac{55}{4}.