Seja \mathcal{R} a região plana dos pontos (x, y) \in \mathbb{R}^{2} tais que
\left\{\begin{array}{l} x \geq 0 \\\ y \geq 0 \\\ x+5 y \leq 20 \\\ x+y \leq 5 \end{array}\right.
(a) Esboce a região \mathcal{R}.
(b) Considere z=2 x+3 y e determine (x, y) \in \mathcal{R} tal que z tem o maior valor possível.
(c) Considere z=2 x+3 y, com (x, y) \in \mathcal{R}, e determine o maior valor possível de z.

Passo 1

O enunciado define a região planar \mathcal{R} pelos quatro requisitos
\left\{\begin{array}{l} x \geq 0,\\[4pt] y \geq 0,\\[4pt] x+5y \leq 20,\\[4pt] x+y \leq 5, \end{array}\right.
e faz três pedidos:
(a) esboçar a região \mathcal{R};
(b) para z=2x+3y, determinar o(s) ponto(s) (x,y)\in\mathcal{R} onde z é máximo;
(c) determinar o maior valor possível de z quando (x,y)\in\mathcal{R}.
As informações relevantes dadas são exatamente as quatro desigualdades acima e a função objetivo z=2x+3y. Não há outras informações externas.]

Passo 2

Vamos esboçar a região: primeiro identificamos as retas que formam as fronteiras das desigualdades.
As duas retas importantes são
x+5y=20
e
x+y=5.
Para esboçar cada reta é útil achar os interceptos com os eixos.
Para a reta x+5y=20:
\text{se }x=0\Rightarrow 5y=20\Rightarrow y=4,\quad\text{ponto }(0,4),
\text{se }y=0\Rightarrow x=20,\quad\text{ponto }(20,0).
Para a reta x+y=5:
\text{se }x=0\Rightarrow y=5,\quad\text{ponto }(0,5),
\text{se }y=0\Rightarrow x=5,\quad\text{ponto }(5,0).
Como também temos x\ge 0 e y\ge 0, estamos no primeiro quadrante. Agora vamos achar a interseção entre as duas retas para localizar um vértice potencial.

Passo 3

Determinamos a interseção entre as retas resolvendo o sistema
\begin{cases} x+y=5,\\[4pt] x+5y=20. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
(x+5y)-(x+y)=20-5 \Rightarrow 4y=15 \Rightarrow y=\tfrac{15}{4}.
Substituindo em x+y=5,
x=5-y=5-\tfrac{15}{4}=\tfrac{20}{4}-\tfrac{15}{4}=\tfrac{5}{4}.
Logo a interseção é o ponto \bigl(\tfrac{5}{4},\tfrac{15}{4}\bigr).]

Passo 4

Agora identificamos os vértices do polígono factível (a região limitada pelas desigualdades).
  • O ponto (0,0) obviamente satisfaz todas as desigualdades.
  • Na interseção do eixo y=0 com x+y=5 temos (5,0) (pois este é o ponto onde a reta toca o eixo x dentro do primeiro quadrante).
  • Na interseção do eixo x=0 com x+5y=20 temos (0,4).
  • Finalmente, a interseção das duas retas é \bigl(\tfrac{5}{4},\tfrac{15}{4}\bigr), encontrada no passo anterior.
É fácil ver que o conjunto das soluções é o polígono convexo com vértices, em ordem, (0,0), (5,0), \bigl(\tfrac{5}{4},\tfrac{15}{4}\bigr), (0,4). Esse polígono é exatamente a região \mathcal{R}. Assim o esboço consiste em desenhar essas quatro arestas no primeiro quadrante e sombrear o polígono formado.

Passo 5

Explicação didática sobre como maximizar z=2x+3y na região: quando a região é um polígono convexo e a função a maximizar é linear, o valor máximo (se existir e a região for compacta) ocorre em algum vértice do polígono. Intuição geométrica: as linhas de nível de z são retas do tipo 2x+3y=\text{constante}; ao deslocar essa reta paralelamente até tocar a região pela última vez, esse toque será num vértice. Portanto basta avaliar z nos vértices.

Passo 6

Vamos calcular z=2x+3y em cada vértice, passo a passo.
Em (0,0):
z=2\cdot 0+3\cdot 0=0.
Em (5,0):
z=2\cdot 5+3\cdot 0=10.
Em (0,4):
z=2\cdot 0+3\cdot 4=12.
Em \bigl(\tfrac{5}{4},\tfrac{15}{4}\bigr):
calculemos com cuidado:
2x=2\cdot \tfrac{5}{4}=\tfrac{10}{4}=\tfrac{5}{2},
3y=3\cdot \tfrac{15}{4}=\tfrac{45}{4}.
Somando em denominador comum:
z=\tfrac{10}{4}+\tfrac{45}{4}=\tfrac{55}{4}.
Observação: \tfrac{55}{4}=13{,}75, que é maior que os outros valores obtidos.

Passo 7

Concluímos que o maior valor de z sobre \mathcal{R} é \tfrac{55}{4}, atingido no vértice \bigl(\tfrac{5}{4},\tfrac{15}{4}\bigr). Isso responde (b) e (c). O esboço pedido em (a) é o polígono convexo com vértices mencionados, no primeiro quadrante.

Resposta

(a) Região \mathcal{R} é o polígono convexo com vértices (0,0), (5,0), \bigl(\tfrac{5}{4},\tfrac{15}{4}\bigr) e (0,4).
(b) \bigl(x,y\bigr)=\bigl(\tfrac{5}{4},\tfrac{15}{4}\bigr).
(c) \displaystyle z_{\max}=\tfrac{55}{4}.

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