Seja \mathcal{S} a esfera de centro na origem e raio a, seja ainda \mathcal{C} a superfície lateral de um cilindro de raio a cujo eixo é o eixo z e sua altura vai de z=-h / 2 a z=h / 2. Use simetrias e outras considerações geométricas para determinar o valor das seguintes integrais sem usar parametrizações ou o teorema da divergência. Para as integrais de campos considere as superfícies orientadas com normal “exterior”.
\iint_{\mathcal{C}} x^{2} \vec{i} \cdot d \vec{S}

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo \mathbf{F}(x,y,z)=x^{2}\,\mathbf{i} pela superfície lateral \mathcal{C} de um cilindro de raio a e altura h, com normal exterior. O conteúdo principal é integral de superfície e uso de simetrias para simplificar.

Passo 2

Na superfície lateral temos x^{2}+y^{2}=a^{2} e o vetor normal unitário exterior é
\mathbf{n}=\frac{(x,y,0)}{a}\,.
O elemento de área é dS, de modo que
d\mathbf{S}=\mathbf{n}\,dS.

Passo 3

O integrando é
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = x^{2}\,\mathbf{i}\;\cdot\;\frac{(x,y,0)}{a}\,dS = \frac{x^{3}}{a}\,dS.
Logo a integral fica
\iint_{\mathcal{C}}x^{2}\,\mathbf{i}\cdot d\mathbf{S} =\frac{1}{a}\iint_{\mathcal{C}}x^{3}\,dS.

Passo 4

A superfície lateral do cilindro é simétrica em relação ao plano x=0. A função x^{3} é ímpar nessa reflexão, de modo que sua integral sobre toda a superfície lateral se anula:
\iint_{\mathcal{C}}x^{3}\,dS = 0.

Resposta

0.

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