Seja \mathcal{S} a esfera de centro na origem e raio a, seja ainda \mathcal{C} a superfície lateral de um cilindro de raio a cujo eixo é o eixo z e sua altura vai de z=-h / 2 a z=h / 2. Use simetrias e outras considerações geométricas para determinar o valor das seguintes integrais sem usar parametrizações ou o teorema da divergência. Para as integrais de campos considere as superfícies orientadas com normal “exterior”.
\iint_{\mathcal{C}}(-y \vec{i}+x \vec{j}) \cdot d \vec{S}

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo \mathbf{F} = -y\,\mathbf{i} + x\,\mathbf{j}
pela superfície lateral do cilindro de raio a e altura h, orientada com normal “exterior”.

Passo 2

Na superfície lateral do cilindro temos x^{2}+y^{2}=a^{2}. O vetor normal externo unitário é \mathbf{n}=(x/a,\;y/a,\;0).
Logo, o produto escalar em cada ponto é
\mathbf{F}\cdot \mathbf{n} =(-y,\,x,\,0)\cdot\bigl(x/a,\;y/a,\;0\bigr) =\frac{-yx + xy}{a} =0.

Passo 3

Como \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=0 em toda a superfície lateral, o fluxo é
\iint_{\mathcal{C}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =0.

Resposta

0

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