Seja
a esfera de centro na origem e raio
, seja ainda
a superfície lateral de um cilindro de raio
cujo eixo é o eixo z e sua altura vai de
a
. Use simetrias e outras considerações geométricas para determinar o valor das seguintes integrais sem usar parametrizações ou o teorema da divergência. Para as integrais de campos considere as superfícies orientadas com normal “exterior”.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo
pela superfície lateral
de um cilindro de raio
e altura
, com normal exterior. O conteúdo principal é integral de superfície e uso de simetrias para simplificar.
Passo 2
Na superfície lateral temos
e o vetor normal unitário exterior é
O elemento de área é
, de modo que
Passo 3
O integrando é
Logo a integral fica
Passo 4
A superfície lateral do cilindro é simétrica em relação ao plano
. A função
é ímpar nessa reflexão, de modo que sua integral sobre toda a superfície lateral se anula: