Seja 1,0 \mathrm{~mol} de um gás ideal, \overline{\mathrm{C}}_{\mathrm{V}}=2,5 \mathrm{R}, inicialmente a 27^{\circ} \mathrm{C} e 1,0 atm, submetido à seguinte transformação cíclica: etapa 1 : expansão isotérmica reversível até o dobro de seu volume inicial; etapa 2: compressão isovolumétrica até a pressão atingir seu valor inicial; etapa 3: resfriamento isobárico até o volume voltar ao seu valor inicial. Calcule Q, W, \Delta U e \Delta H para cada etapa e para o ciclo. R_{.}: Q_{1}=\mathbf{W}_{1}=\mathbf{1 , 7 3 k J}; \Delta \mathrm{U}_{1}=\Delta \mathrm{H}_{1}=0 ; \mathrm{Q}_{2}=6,24 \mathrm{~kJ} ; \mathrm{W}_{2}=0 ; \Delta \mathrm{U}_{2}=6,24 \mathrm{~kJ} ; \Delta \mathrm{H}_{2}=8,73 \mathrm{~kJ} ; \mathrm{Q}_{3}=-8,73 \mathrm{~kJ} ; \mathrm{W}_{3}=-2,49 \mathrm{~kJ} ; \Delta \mathrm{U}_{3}=-6,24 \mathrm{~kJ} ; \Delta \mathrm{H}_{3}=-8,73 \mathrm{~kJ} ; \mathrm{W}_{\text {ciclo }}=\mathrm{Q}_{\text {ciclo }} =-0,76 \mathrm{~kJ} ; \Delta \mathrm{U}_{\text {ciclo }}=\Delta \mathrm{H}_{\text {ciclo }}=0.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule Q, W, \Delta U e \Delta H para cada etapa de um ciclo e para o ciclo completo, sabendo que:
quantidade de gás: n=1{,}0 mol;
capacidade calorífica molar a volume constante: \overline{C}_V=2{,}5\,R;
condição inicial: T_1=27^\circ\mathrm{C}=300\\ \mathrm{K} e P_1=1{,}0\\ \mathrm{atm};
transformação do ciclo:
etapa 1: expansão isotérmica reversível de V_1 até V_2=2V_1;
etapa 2: compressão isovolumétrica (volume constante em V_2=2V_1) até a pressão voltar a P_1;
etapa 3: resfriamento isobárico à pressão P_1 até o volume voltar a V_1.
Também devo apresentar os resultados numéricos (em kJ) para cada quantidade em cada etapa e para o ciclo.
Passo 2
Defino convenções e as fórmulas que vou usar (explicando bem, passo a passo):
Convenção de sinais (uso conveniente para esta resolução): W será o trabalho realizado pelo sistema (positivo quando o gás realiza trabalho, ou seja, expansão). Com essa convenção a primeira lei fica
\Delta U = Q - W.
Explicação rápida: Q positivo significa calor absorvido pelo sistema; W positivo significa trabalho feito pelo sistema sobre o exterior. Assim, se o sistema perde energia fazendo trabalho, \Delta U diminui se Q não compensa.
Equação dos gases ideais:
PV = nRT.
Explicação: P é pressão, V volume, n número de mols, R constante universal dos gases (R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}), T temperatura absoluta (K).
Capacidades caloríficas molares:
\overline{C}_V = 2{,}5\,R,\qquad \overline{C}_P = \overline{C}_V + R = 3{,}5\,R.
Explicação: \overline{C}_V é o calor molar a volume constante (energia necessária por mol e por kelvin); \overline{C}_P é o calor molar a pressão constante. Para gás ideal \overline{C}_P-\overline{C}_V=R.
Vou usar este valor sempre que precisar de P_1V_1 (pois P_1V_1=nRT_1).
Passo 3
Etapa 1 — expansão isotérmica reversível de V_1 para V_2=2V_1 a T=300\\ \mathrm{K}.
Pelo enunciado a temperatura permanece T=300\\ \mathrm{K}, então \Delta U_1=0 e \Delta H_1=0 para gás ideal (energia interna e entalpia dependem só de T).
Etapa 2 — compressão isovolumétrica (volume V_2=2V_1 constante) até a pressão voltar a P_1.
Primeiro determino a pressão e a temperatura no início da etapa 2 (após a etapa 1). Como a etapa 1 foi isotérmica duplicando o volume, a pressão caiu à metade:
Na etapa 2 o volume é constante em V_2 e a pressão aumenta de P_2=P_1/2 até P_1. Em volume constante, P\propto T, então a temperatura final T_3 (após etapa 2) é
Sinal negativo porque o volume diminui: trabalho é realizado sobre o gás (o sistema recebe trabalho).
Temperatura: no início da etapa 3 T_{\text{in}}=600\\ \mathrm{K} (resultado da etapa 2) e no fim T_{\text{fin}}=300\\ \mathrm{K} (volta ao estado inicial). Então \Delta T_3 = 300-600 = -300\\ \mathrm{K}.
Interpretação: valor negativo mostra que, no conjunto do ciclo, houve trabalho líquido realizado sobre o sistema (ou seja, o sistema absorveu trabalho).
Consistência: pela primeira lei aplicada ao ciclo inteiro, \Delta U_{\text{ciclo}} = Q_{\text{ciclo}} - W_{\text{ciclo}}. Como volta ao estado inicial, \Delta U_{\text{ciclo}}=0, logo Q_{\text{ciclo}}=W_{\text{ciclo}}, que é o que encontrei (ambos -0{,}76\\ \mathrm{kJ}).