Seja 1,0 \mathrm{~mol} de um gás ideal, \overline{\mathrm{C}}_{\mathrm{V}}=2,5 \mathrm{R}, inicialmente a 27^{\circ} \mathrm{C} e 1,0 atm, submetido à seguinte transformação cíclica: etapa 1 : expansão isotérmica reversível até o dobro de seu volume inicial; etapa 2: compressão isovolumétrica até a pressão atingir seu valor inicial; etapa 3: resfriamento isobárico até o volume voltar ao seu valor inicial. Calcule Q, W, \Delta U e \Delta H para cada etapa e para o ciclo. R_{.}: Q_{1}=\mathbf{W}_{1}=\mathbf{1 , 7 3 k J}; \Delta \mathrm{U}_{1}=\Delta \mathrm{H}_{1}=0 ; \mathrm{Q}_{2}=6,24 \mathrm{~kJ} ; \mathrm{W}_{2}=0 ; \Delta \mathrm{U}_{2}=6,24 \mathrm{~kJ} ; \Delta \mathrm{H}_{2}=8,73 \mathrm{~kJ} ; \mathrm{Q}_{3}=-8,73 \mathrm{~kJ} ; \mathrm{W}_{3}=-2,49 \mathrm{~kJ} ; \Delta \mathrm{U}_{3}=-6,24 \mathrm{~kJ} ; \Delta \mathrm{H}_{3}=-8,73 \mathrm{~kJ} ; \mathrm{W}_{\text {ciclo }}=\mathrm{Q}_{\text {ciclo }} =-0,76 \mathrm{~kJ} ; \Delta \mathrm{U}_{\text {ciclo }}=\Delta \mathrm{H}_{\text {ciclo }}=0.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule Q, W, \Delta U e \Delta H para cada etapa de um ciclo e para o ciclo completo, sabendo que:
  • quantidade de gás: n=1{,}0 mol;
  • capacidade calorífica molar a volume constante: \overline{C}_V=2{,}5\,R;
  • condição inicial: T_1=27^\circ\mathrm{C}=300\\ \mathrm{K} e P_1=1{,}0\\ \mathrm{atm};
  • transformação do ciclo:
    1. etapa 1: expansão isotérmica reversível de V_1 até V_2=2V_1;
    2. etapa 2: compressão isovolumétrica (volume constante em V_2=2V_1) até a pressão voltar a P_1;
    3. etapa 3: resfriamento isobárico à pressão P_1 até o volume voltar a V_1.
      Também devo apresentar os resultados numéricos (em kJ) para cada quantidade em cada etapa e para o ciclo.

Passo 2

Defino convenções e as fórmulas que vou usar (explicando bem, passo a passo):
  • Convenção de sinais (uso conveniente para esta resolução): W será o trabalho realizado pelo sistema (positivo quando o gás realiza trabalho, ou seja, expansão). Com essa convenção a primeira lei fica
\Delta U = Q - W.
Explicação rápida: Q positivo significa calor absorvido pelo sistema; W positivo significa trabalho feito pelo sistema sobre o exterior. Assim, se o sistema perde energia fazendo trabalho, \Delta U diminui se Q não compensa.
  • Equação dos gases ideais:
PV = nRT.
Explicação: P é pressão, V volume, n número de mols, R constante universal dos gases ( R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}), T temperatura absoluta (K).
  • Capacidades caloríficas molares:
\overline{C}_V = 2{,}5\,R,\qquad \overline{C}_P = \overline{C}_V + R = 3{,}5\,R.
Explicação: \overline{C}_V é o calor molar a volume constante (energia necessária por mol e por kelvin); \overline{C}_P é o calor molar a pressão constante. Para gás ideal \overline{C}_P-\overline{C}_V=R.
  • Fórmulas úteis por tipo de processo:
    • Isotérmico reversível (temperatura constante T):
    W_{\text{isot}} = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right),\qquad \Delta U=0,\qquad \Delta H=0,\qquad Q=W_{\text{isot}}.
    Explicação: para gás ideal a energia interna depende só de T, então em isotérmico \Delta U=0. Pela primeira lei vem Q=W.
    • Isocórico (volume constante):
    W=0,\qquad \Delta U = n\overline{C}_V\Delta T,\qquad Q = \Delta U.
    • Isobárico (pressão constante):
    W = P\Delta V,\qquad \Delta H = n\overline{C}_P\Delta T,\qquad \Delta U = n\overline{C}_V\Delta T,\qquad Q = \Delta H.
    Explicação: em isobárico o calor trocado é igual à variação de entalpia \Delta H.
  • Valor numérico útil: calculo nRT na temperatura inicial
nRT_1 = 1\cdot R \cdot 300\\ \mathrm{K} = 8{,}314\cdot 300 = 2494{,}2\\ \mathrm{J}\approx 2{,}494\\ \mathrm{kJ}.
Vou usar este valor sempre que precisar de P_1V_1 (pois P_1V_1=nRT_1).

Passo 3

Etapa 1 — expansão isotérmica reversível de V_1 para V_2=2V_1 a T=300\\ \mathrm{K}.
  • Pelo enunciado a temperatura permanece T=300\\ \mathrm{K}, então \Delta U_1=0 e \Delta H_1=0 para gás ideal (energia interna e entalpia dependem só de T).
  • Trabalho realizado pelo gás:
W_1 = nRT\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = nRT\ln(2).
Substituindo nRT = 2494{,}2\\ \mathrm{J} e \ln 2\approx 0{,}693147:
W_1 = 2494{,}2\times 0{,}693147 = 1728{,}9\\ \mathrm{J}\approx 1{,}73\\ \mathrm{kJ}.
  • Como \Delta U_1=0, pela primeira lei Q_1 = W_1 = 1{,}73\\ \mathrm{kJ}.
Resumo etapa 1:
Q_1 = 1{,}73\\ \mathrm{kJ},\quad W_1 = 1{,}73\\ \mathrm{kJ},\quad \Delta U_1=0,\quad \Delta H_1=0.

Passo 4

Etapa 2 — compressão isovolumétrica (volume V_2=2V_1 constante) até a pressão voltar a P_1.
  • Primeiro determino a pressão e a temperatura no início da etapa 2 (após a etapa 1). Como a etapa 1 foi isotérmica duplicando o volume, a pressão caiu à metade:
P_2 = \frac{P_1V_1}{V_2} = \frac{P_1V_1}{2V_1} = \frac{P_1}{2}.
Explicação: por PV=nRT e T constante.
  • Na etapa 2 o volume é constante em V_2 e a pressão aumenta de P_2=P_1/2 até P_1. Em volume constante, P\propto T, então a temperatura final T_3 (após etapa 2) é
T_3 = T_2\cdot\frac{P_1}{P_2} = 300\\ \mathrm{K}\cdot\frac{P_1}{P_1/2} = 300\cdot 2 = 600\\ \mathrm{K}.
Portanto \Delta T_2 = T_3 - T_2 = 600-300 = 300\\ \mathrm{K}.
  • Trabalho na etapa 2: como o volume é constante,
W_2 = 0.
  • Variação de energia interna:
\Delta U_2 = n\overline{C}_V\Delta T_2 = 1\cdot (2{,}5R)\cdot 300.
Cálculo: 2{,}5R\cdot 300 = 2{,}5\cdot 2494{,}2\\ \mathrm{J} = 6235{,}5\\ \mathrm{J}\approx 6{,}24\\ \mathrm{kJ}.
  • Calor trocado (como W_2=0):
Q_2 = \Delta U_2 = 6{,}24\\ \mathrm{kJ}.
  • Variação de entalpia (usar \overline{C}_P=3{,}5R):
\Delta H_2 = n\overline{C}_P\Delta T_2 = 1\cdot (3{,}5R)\cdot 300 = 3{,}5\cdot 2494{,}2\\ \mathrm{J} = 8730{,}0\\ \mathrm{J}\approx 8{,}73\\ \mathrm{kJ}.
Resumo etapa 2:
Q_2 = 6{,}24\\ \mathrm{kJ},\quad W_2 = 0,\quad \Delta U_2 = 6{,}24\\ \mathrm{kJ},\quad \Delta H_2 = 8{,}73\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Etapa 3 — resfriamento isobárico à pressão P_1 de V_2=2V_1 até V_1.
  • Durante esta etapa a pressão é constante e igual a P_1. O volume varia de V_i=2V_1 para V_f=V_1, logo \Delta V = V_1-2V_1 = -V_1.
  • Trabalho (trabalho realizado pelo gás) em processo isobárico:
W_3 = P_1\Delta V = P_1(V_1-2V_1) = -P_1V_1.
Mas P_1V_1 = nRT_1 = 2494{,}2\\ \mathrm{J}. Assim
W_3 = -2494{,}2\\ \mathrm{J}\approx -2{,}49\\ \mathrm{kJ}.
Sinal negativo porque o volume diminui: trabalho é realizado sobre o gás (o sistema recebe trabalho).
  • Temperatura: no início da etapa 3 T_{\text{in}}=600\\ \mathrm{K} (resultado da etapa 2) e no fim T_{\text{fin}}=300\\ \mathrm{K} (volta ao estado inicial). Então \Delta T_3 = 300-600 = -300\\ \mathrm{K}.
  • Variação de energia interna:
\Delta U_3 = n\overline{C}_V\Delta T_3 = 1\cdot 2{,}5R\cdot(-300) = -6{,}24\\ \mathrm{kJ}.
  • Calor trocado (pela primeira lei Q_3 = \Delta U_3 + W_3):
Q_3 = -6{,}24\\ \mathrm{kJ} + (-2{,}49\\ \mathrm{kJ}) = -8{,}73\\ \mathrm{kJ}.
Observação: em isobárico também vale Q_3=\Delta H_3, veja abaixo.
  • Variação de entalpia:
\Delta H_3 = n\overline{C}_P\Delta T_3 = 1\cdot 3{,}5R\cdot(-300) = -8{,}73\\ \mathrm{kJ}.
Resumo etapa 3:
Q_3 = -8{,}73\\ \mathrm{kJ},\quad W_3 = -2{,}49\\ \mathrm{kJ},\quad \Delta U_3 = -6{,}24\\ \mathrm{kJ},\quad \Delta H_3 = -8{,}73\\ \mathrm{kJ}.

Passo 6

Soma para o ciclo completo (faço a soma etapa a etapa e explico o significado físico):
  • Trabalho total:
W_{\text{ciclo}} = W_1 + W_2 + W_3 = 1{,}73 + 0 + (-2{,}49) = -0{,}76\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação: valor negativo mostra que, no conjunto do ciclo, houve trabalho líquido realizado sobre o sistema (ou seja, o sistema absorveu trabalho).
  • Calor total:
Q_{\text{ciclo}} = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 1{,}73 + 6{,}24 + (-8{,}73) = -0{,}76\\ \mathrm{kJ}.
Consistência: pela primeira lei aplicada ao ciclo inteiro, \Delta U_{\text{ciclo}} = Q_{\text{ciclo}} - W_{\text{ciclo}}. Como volta ao estado inicial, \Delta U_{\text{ciclo}}=0, logo Q_{\text{ciclo}}=W_{\text{ciclo}}, que é o que encontrei (ambos -0{,}76\\ \mathrm{kJ}).
  • Variação de energia interna total no ciclo:
\Delta U_{\text{ciclo}} = \Delta U_1 + \Delta U_2 + \Delta U_3 = 0 + 6{,}24 + (-6{,}24) = 0.
Isto era esperado: energia interna é função de estado e retorna ao valor inicial num ciclo fechado.
  • Variação de entalpia total no ciclo:
\Delta H_{\text{ciclo}} = \Delta H_1 + \Delta H_2 + \Delta H_3 = 0 + 8{,}73 + (-8{,}73) = 0.

Resposta

Etapa 1: Q_1=1{,}73\\ \mathrm{kJ}, W_1=1{,}73\\ \mathrm{kJ}, \Delta U_1=0, \Delta H_1=0
Etapa 2: Q_2=6{,}24\\ \mathrm{kJ}, W_2=0, \Delta U_2=6{,}24\\ \mathrm{kJ}, \Delta H_2=8{,}73\\ \mathrm{kJ}
Etapa 3: Q_3=-8{,}73\\ \mathrm{kJ}, W_3=-2{,}49\\ \mathrm{kJ}, \Delta U_3=-6{,}24\\ \mathrm{kJ}, \Delta H_3=-8{,}73\\ \mathrm{kJ}
Ciclo total: Q_{\text{ciclo}}=-0{,}76\\ \mathrm{kJ}, W_{\text{ciclo}}=-0{,}76\\ \mathrm{kJ}, \Delta U_{\text{ciclo}}=0, \Delta H_{\text{ciclo}}=0

Exercícios relacionados