Calcule Q, W, \Delta U e \Delta H quando 1,0 \mathrm{~mol} de um gás ideal, inicialmente a -123^{\circ} \mathrm{C} e 6,15 \mathrm{~L}, varia, isobaricamente, para 177^{\circ} \mathrm{C} e 18,45 \mathrm{~L}. Dados: \overline{\mathrm{C}}_{\mathrm{V}}=1,5 \mathrm{R} ; \overline{\mathrm{C}}_{\mathrm{p}}=2,5 \mathrm{R} . \mathrm{R} .: \mathrm{Q}=6,23 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} ; \mathbf{W}=2,49 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} ; ~ \boldsymbol{\Delta U}=\mathbf{3 , 7 4 k J} / \mathbf{m o l} ; \boldsymbol{\Delta H}=\mathbf{6 , 2 3 k J} / \mathbf{m o l}.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos Q, W, \Delta U e \Delta H para 1,0 mol de um gás ideal que sofre uma transformação isobárica (pressão constante) desde -123^\circ\mathrm{C} e 6,15\\ \mathrm{L} até 177^\circ\mathrm{C} e 18,45\\ \mathrm{L}. As informações fornecidas são:
n=1,0\\ \mathrm{mol},
T_1=-123^\circ\mathrm{C},\quad V_1=6,15\\ \mathrm{L},
T_2=177^\circ\mathrm{C},\quad V_2=18,45\\ \mathrm{L},
\overline{C}_V=1,5\,R,\quad \overline{C}_p=2,5\,R,
onde R é a constante dos gases perfeitos. Precisamos transformar unidades quando necessário e usar relações da termodinâmica para gás ideal sob pressão constante.

Passo 2

Converto temperaturas para Kelvin (sempre usar Kelvin nas fórmulas térmicas):
T_1=-123^\circ\mathrm{C}= -123+273{,}15 = 150{,}15\\ \mathrm{K},
T_2=177^\circ\mathrm{C}= 177+273{,}15 = 450{,}15\\ \mathrm{K}.
Calculo a variação de temperatura:
\Delta T = T_2-T_1 = 450{,}15 - 150{,}15 = 300{,}00\\ \mathrm{K}.
Converto volumes para metros cúbicos (opcional para trabalho em SI):
V_1=6{,}15\\ \mathrm{L}=6{,}15\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3},
V_2=18{,}45\\ \mathrm{L}=18{,}45\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3}.

Passo 3

Lembrando fórmulas úteis para gás ideal em processo isobárico:
  • Trabalho realizado pelo gás: W=P\Delta V.
  • Para gás ideal, usando PV=nRT e pressão constante, podemos escrever diretamente: W=nR\Delta T.
Explicação didática: como P é constante, \Delta V é tal que P\Delta V=nR\Delta T. Assim não precisamos calcular P separadamente (mas é possível).

Passo 4

Calculo o trabalho usando W=nR\Delta T. Uso R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} (escrevo com vírgula porque usamos vírgula decimal):
W = nR\Delta T = 1{,}0\times 8{,}314 \times 300{,}00 = 2494{,}2\\ \mathrm{J}.
Transformando para \mathrm{kJ}:
W = 2494{,}2\\ \mathrm{J}=2{,}4942\\ \mathrm{kJ}\approx 2{,}49\\ \mathrm{kJ}.
Comentário prático: na prova, muitas vezes basta lembrar W=nR\Delta T para isobárica — é rápido e evita calcular P e \Delta V separadamente.

Passo 5

Explico a fórmula para a variação da energia interna de um gás ideal:
\Delta U = n\overline{C}_V \Delta T.
Aqui \overline{C}_V é o calor molar a volume constante (por mol), \Delta T a variação de temperatura e n o número de mols. Para gás ideal, \Delta U depende somente de \Delta T, não do caminho. Agora calculo:
\Delta U = 1{,}0 \times 1{,}5\,R \times 300{,}00 = 1{,}5 \times 8{,}314 \times 300{,}00 = 3741{,}3\\ \mathrm{J}.
Em \mathrm{kJ}:
\Delta U = 3741{,}3\\ \mathrm{J}=3{,}7413\\ \mathrm{kJ}\approx 3{,}74\\ \mathrm{kJ}.

Passo 6

Explico a fórmula para entalpia (variação molar) em termos de C_p:
\Delta H = n\overline{C}_p \Delta T.
Para transformação isobárica, o calor trocado Q é igual à variação de entalpia \Delta H, porque por definição dH=\delta Q_p em processo a pressão constante. Calculo:
\Delta H = 1{,}0 \times 2{,}5\,R \times 300{,}00 = 2{,}5 \times 8{,}314 \times 300{,}00 = 6235{,}5\\ \mathrm{J}.
Em \mathrm{kJ}:
\Delta H = 6235{,}5\\ \mathrm{J}=6{,}2355\\ \mathrm{kJ}\approx 6{,}23\\ \mathrm{kJ}.

Passo 7

Como a transformação é isobárica, o calor trocado Q satisfaz:
Q = \Delta H = n\overline{C}_p\Delta T.
Portanto já temos Q do passo anterior:
Q = 6235{,}5\\ \mathrm{J}=6{,}2355\\ \mathrm{kJ}\approx 6{,}23\\ \mathrm{kJ}.
Dica de prova: falar “isobárico” automaticamente lembra Q=nC_p\Delta T e que Q=\Delta H.

Passo 8

Faço uma checagem de conservação de energia (primeira lei): \;Q=\Delta U+W.
Numericamente:
\Delta U+W = 3741{,}3\\ \mathrm{J} + 2494{,}2\\ \mathrm{J} = 6235{,}5\\ \mathrm{J} = Q,
confere perfeitamente. Isso é sempre bom fazer na prova para evitar erros de cálculo.

Resposta

Q=6{,}23\\ \mathrm{kJ}
W=2{,}49\\ \mathrm{kJ}
\Delta U=3{,}74\\ \mathrm{kJ}
\Delta H=6{,}23\\ \mathrm{kJ}

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