Seja T o operador linear no \mathbb{R}^{3} definido por \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 \mathrm{y}+\mathrm{z}, \mathrm{x}-4 \mathrm{y}, 3 \mathrm{x}).
(a) Encontre a matriz de T na base \mathrm{B}=\{(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0)\}.
(b) Encontre [T(1,0,-1)]_{B} utilizando a matriz [T]_{B}^{B}.
Passo 1
O enunciado define o operador linear T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y,z) = (2y+z,\;x-4y,\;3x)
e a base \mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3\} em \mathbb{R}^3 com
b_1=(1,1,0),\quad b_2=(1,0,1),\quad b_3=(1,0,0).
Precisamos:
(a) encontrar a matriz [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}};
(b) usar essa matriz para achar \bigl[T(1,0,-1)\bigr]_{\mathcal{B}}.
Passo 2
Para achar [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}, aplicamos T em cada vetor b_i e escrevemos o resultado em coordenadas na base \mathcal{B}. Se