Seja T o operador linear no \mathbb{R}^{3} definido por \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 \mathrm{y}+\mathrm{z}, \mathrm{x}-4 \mathrm{y}, 3 \mathrm{x}).
(a) Encontre a matriz de T na base \mathrm{B}=\{(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0)\}.
(b) Encontre [T(1,0,-1)]_{B} utilizando a matriz [T]_{B}^{B}.

Passo 1

O enunciado define o operador linear T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y,z) = (2y+z,\;x-4y,\;3x)
e a base \mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3\} em \mathbb{R}^3 com
b_1=(1,1,0),\quad b_2=(1,0,1),\quad b_3=(1,0,0).
Precisamos:
(a) encontrar a matriz [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}};
(b) usar essa matriz para achar \bigl[T(1,0,-1)\bigr]_{\mathcal{B}}.

Passo 2

Para achar [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}, aplicamos T em cada vetor b_i e escrevemos o resultado em coordenadas na base \mathcal{B}. Se
T(b_i)=c_{1,i}\,b_1 + c_{2,i}\,b_2 + c_{3,i}\,b_3,
então a i-ésima coluna de [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} é \begin{pmatrix}c_{1,i}\c_{2,i}\c_{3,i}\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculemos T(b_1)=T(1,1,0)\): \[T(1,1,0) = (2\cdot1+0,\;1-4\cdot1,\;3\cdot1) = (2,-3,3).
Queremos (2,-3,3)=c_1(1,1,0)+c_2(1,0,1)+c_3(1,0,0). Note que
c_1(1,1,0)+c_2(1,0,1)+c_3(1,0,0) = (c_1+c_2+c_3,\;c_1,\;c_2).
Igualando coordenadas:
\begin{cases} c_1 = -3,\\\ c_2 = 3,\\\ c_1+c_2+c_3 = 2 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad c_3 = 2 -(-3)-3 = 2.
Logo a primeira coluna é (\bigl(c_1,c_2,c_3\bigr)=(-3,3,2)].

Passo 4

Calculemos T(b_2)=T(1,0,1)\): \[T(1,0,1) = (2\cdot0+1,\;1-4\cdot0,\;3\cdot1) = (1,1,3).
Escrevemos (1,1,3)=d_1b_1+d_2b_2+d_3b_3, isto é
(d_1+d_2+d_3,\;d_1,\;d_2) = (1,1,3),
o que dá
\begin{cases} d_1 = 1,\\\ d_2 = 3,\\\ d_1+d_2+d_3 = 1 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad d_3 = 1-1-3 = -3.
A segunda coluna é (\bigl(d_1,d_2,d_3\bigr)=(1,3,-3)].

Passo 5

Calculemos T(b_3)=T(1,0,0)\): \[T(1,0,0) = (0,\;1,\;3).
Procuramos (0,1,3)=e_1b_1+e_2b_2+e_3b_3, logo
(e_1+e_2+e_3,\;e_1,\;e_2) = (0,1,3),
de onde
\begin{cases} e_1 = 1,\\\ e_2 = 3,\\\ e_1+e_2+e_3 = 0 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad e_3 = -4.
A terceira coluna é (\bigl(e_1,e_2,e_3\bigr)=(1,3,-4)].

Passo 6

Montando as colunas, obtemos
[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1\\\ \;3 & 3 & 3\\\ \;2 & -3 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 7

Para usar essa matriz em (b), primeiro encontramos as coordenadas de v=(1,0,-1) na base \mathcal{B}. Escrevemos
(1,0,-1)=\alpha\,b_1+\beta\,b_2+\gamma\,b_3 \;\Longrightarrow\; (\alpha+\beta+\gamma,\;\alpha,\;\beta)=(1,0,-1).
Daí
\alpha = 0,\quad \beta = -1,\quad \alpha+\beta+\gamma = 1 \;\Longrightarrow\; \gamma = 2.
Logo
[v]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 8

Agora calculamos
[T(1,0,-1)]_{\mathcal{B}} = [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} \;\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1\\\ \;3 & 3 & 3\\\ \;2 & -3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\\\ 3\\\\ -5 \end{pmatrix}.

Resposta

(a)
[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1\\\ \;3 & 3 & 3\\\ \;2 & -3 & -4 \end{pmatrix}.
(b)
[T(1,0,-1)]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1\\\\ 3\\\\ -5 \end{pmatrix}.

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