Seja a matrix A=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ 2 & -1\end{array}\right] que define uma transformação linear T_{A}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por \left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right] \mapsto A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]. Encontre e desenhe a imagem por T_{A} dos seguintes subconjuntos de \mathbb{R}^{2}.
B_{1}=\{(2,1)\}

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}
que define a transformação linear T_{A}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} por
\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}\mapsto A\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}.
O subconjunto pedido é B_{1}=\{(2,1)\}, ou seja, um único vetor/pt no plano com coordenadas x=2 e y=1.
A tarefa: encontrar a imagem T_{A}(B_{1}) e desenhá-la (indicar como plotar).]

Passo 2

Conceito útil (explicação didática): a imagem de um conjunto B por T_{A} é
T_{A}(B)=\{A v \mid v\in B\}.
Como B_{1} é um conjunto com um único vetor v_{0}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}, sua imagem será também um conjunto com um único vetor:
T_{A}(B_{1})=\{A v_{0}\}.
Para calcular A v_{0} podemos (i) multiplicar a matriz pela coluna ou (ii) escrever A v_{0} como combinação linear das colunas de A. Vou mostrar os dois jeitos, passo a passo.]

Passo 3

Método 1 — multiplicação direta (passo a passo):
A\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 2 + 1\cdot 1\\[6pt] 2\cdot 2 + (-1)\cdot 1 \end{pmatrix}.
Calcule cada componente:
1\cdot 2 + 1\cdot 1 = 2 + 1 = 3, \qquad 2\cdot 2 + (-1)\cdot 1 = 4 - 1 = 3.
Portanto
A\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Método 2 — combinação das colunas (intuição útil para provas):
Escreva as colunas de A:
\text{col}_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad \text{col}_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Para um vetor \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} vale
A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=x\,\text{col}_1 + y\,\text{col}_2.
No nosso caso x=2, y=1, então
2\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix} + 1\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\[4pt]3\end{pmatrix},
confirmando o resultado do passo anterior.]

Passo 5

Interpretação geométrica e como desenhar:
  • A imagem de B_{1} é o único ponto \begin{pmatrix}3\\[4pt]3\end{pmatrix}.
  • Para desenhar no plano cartesiano: trace os eixos x e y, marque a coordenada (3,3) (ir 3 unidades à direita e 3 unidades para cima a partir da origem) e coloque um ponto lá.
  • Se quiser ilustrar a transformação, também marque o ponto original (2,1) (2 à direita e 1 para cima) e desenhe um vetor (seta) de (0,0) para (2,1) e outro de (0,0) para (3,3); a seta mostra como T_{A} envia o vetor (2,1) para (3,3).
  • Comentário encorajador: é simples — uma matriz aplica uma regra fixa; para um ponto único, o resultado é outro ponto único, calculado por multiplicação.]

Resposta

\{(3,3)\}

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