Qual matriz 3 \times 3 representa uma transformação que
projeta todo vetor no plano x y ?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
Pede: encontrar uma matriz 3\times3 que representa uma transformação que projeta todo vetor no plano x y.
Informação implícita: trabalhamos com vetores em \mathbb{R}^3 no sistema de coordenadas padrão; a projeção no plano x y envia cada ponto (x,y,z) para (x,y,0).
Objetivo claro: achar a matriz que, aplicada ao vetor \,(x,y,z)\,, devolve (x,y,0).
Passo 2
Ideia prática para construir a matriz: usar a imagem dos vetores da base canônica.
Seja a base canônica de \mathbb{R}^3: \(e_1,e_2,e_3) com
Lembrete útil (como funciona): a matriz de uma transformação linear, na base canônica, tem como colunas as imagens dos vetores da base expressas nessa mesma base. Ou seja, se T é a transformação, a matriz A tem colunas T(e_1),T(e_2),T(e_3).
Passo 3
Calcular as imagens dos vetores da base pela projeção no plano x y.
Comentário extra (fórmula alternativa para projeção ortogonal): se quiser lembrar uma fórmula geral para projeção ortogonal no plano ortogonal ao vetor normal \,n, usa-se
P=I - n n^{T},
quando n é unitário. No nosso caso n=(0,0,1) é unitário, então