Qual matriz 3 \times 3 representa uma transformação que
projeta todo vetor no plano x y ?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: encontrar uma matriz 3\times3 que representa uma transformação que projeta todo vetor no plano x y.
  • Informação implícita: trabalhamos com vetores em \mathbb{R}^3 no sistema de coordenadas padrão; a projeção no plano x y envia cada ponto (x,y,z) para (x,y,0).
  • Objetivo claro: achar a matriz que, aplicada ao vetor \,(x,y,z)\,, devolve (x,y,0).

Passo 2

Ideia prática para construir a matriz: usar a imagem dos vetores da base canônica.
  • Seja a base canônica de \mathbb{R}^3: \(e_1,e_2,e_3) com
e_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\qquad e_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\qquad e_3=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
  • Lembrete útil (como funciona): a matriz de uma transformação linear, na base canônica, tem como colunas as imagens dos vetores da base expressas nessa mesma base. Ou seja, se T é a transformação, a matriz A tem colunas T(e_1),T(e_2),T(e_3).

Passo 3

Calcular as imagens dos vetores da base pela projeção no plano x y.
  • A projeção manda (x,y,z) em (x,y,0).
  • Aplicando isso aos vetores da base:
T(e_1)=T\!\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}=e_1,
T(e_2)=T\!\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}=e_2,
T(e_3)=T\!\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Interpretação: os dois primeiros vetores ficam iguais (mantém componentes x e y) e o eixo z é enviado ao vetor nulo (z anulado).

Passo 4

Montar a matriz a partir das colunas obtidas.
  • Como explicado, a matriz A terá como colunas T(e_1),T(e_2),T(e_3). Substituindo:
A=\begin{pmatrix} \;T(e_1)\; &\; T(e_2)\; &\; T(e_3)\; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação rápida do efeito sobre um vetor genérico e de uma propriedade útil.
  • Aplicando A a um vetor genérico \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}:
A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\y\\\ 0\end{pmatrix},
que é exatamente a projeção no plano x y.
  • Propriedade útil: A é idempotente, isto é, A^2=A, porque projetar duas vezes é o mesmo que projetar uma vez. Podemos checar:
A^2 = A\cdot A = \begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix}=A.]

Passo 6

Comentário extra (fórmula alternativa para projeção ortogonal): se quiser lembrar uma fórmula geral para projeção ortogonal no plano ortogonal ao vetor normal \,n, usa-se
P=I - n n^{T},
quando n é unitário. No nosso caso n=(0,0,1) é unitário, então
P=I - \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix} = I - \begin{pmatrix}0&0&0\\\ 0&0&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix},
a mesma matriz que encontramos.

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]

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