Seja a matrix A=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ 2 & -1\end{array}\right] que define uma transformação linear T_{A}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por \left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right] \mapsto A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]. Encontre e desenhe a imagem por T_{A} dos seguintes subconjuntos de \mathbb{R}^{2}.
B_{3}=\{(x, y)=t(2,1), t \in[0,1]\}

Passo 1

O enunciado dá a matriz A=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\[4pt] 2 & -1\end{array}\right] que define a transformação linear T_{A}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} por
\left[\begin{array}{c}x\\[4pt] y\end{array}\right]\mapsto A\left[\begin{array}{c}x\\[4pt] y\end{array}\right].
O subconjunto dado é
B_{3}=\{(x,y)=t(2,1)\mid t\in[0,1]\},
ou seja, o segmento que vai da origem até o ponto (2,1). A tarefa é encontrar a imagem T_{A}(B_{3}) e desenhá-la (descrever como desenhar).]

Passo 2

Lembrete importante (propriedade usada): uma transformação definida por uma matriz é linear, então para qualquer vetor u e escalar t vale
T_{A}(t u)=A(t u)=t\bigl(Au\bigr).
Isto significa que uma reta (ou segmento) que passa pela origem, parametrizada por t u, é enviada por T_{A} para outra reta (ou segmento) que passa pela origem, parametrizada por t\bigl(Au\bigr). Vamos usar isso com u=(2,1).

Passo 3

Calcular A aplicado ao vetor \left[\begin{array}{c}2\\[4pt]1\end{array}\right]. Faço a multiplicação linha por coluna, passo a passo:
A\left[\begin{array}{c}2\\[4pt]1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 1\\[4pt]2 & -1\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}2\\[4pt]1\end{array}\right].
Primeira componente: 1\cdot 2 + 1\cdot 1 = 2+1 = 3.
Segunda componente: 2\cdot 2 + (-1)\cdot 1 = 4-1 = 3.
Portanto
A\left[\begin{array}{c}2\\[4pt]1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\[4pt]3\end{array}\right].]

Passo 4

Usando a linearidade observada no Passo 2, a imagem de B_{3} é
T_{A}(B_{3})=\{\,t\;A(2,1)\mid t\in[0,1]\,\} =\{\,t(3,3)\mid t\in[0,1]\,\}.
Em coordenadas isso é
T_{A}(B_{3})=\{(3t,3t)\mid t\in[0,1]\}.

Passo 5

Interpretação geométrica e instruções de desenho:
  • O conjunto \{(3t,3t)\mid t\in[0,1]\} é o segmento de reta que vai da origem (0,0) até o ponto (3,3).
  • Esse segmento está sobre a reta y=x (pois as coordenadas são iguais).
  • Para desenhar: marque o ponto (3,3), marque a origem (0,0) e trace o segmento que os une. Esse segmento é exatamente T_{A}(B_{3}).

Passo 6

Observações adicionais (úteis para a prova):
  • Qualquer segmento que passe pela origem e seja parametrizado por t u com t\in[0,1] é mapeado em outro segmento pela regra t\mapsto t(Au). Não precisa recomputar para cada t.
  • Aqui o vetor original (2,1) foi enviado para (3,3), que mudou a direção: (2,1) não é paralelo a (3,3). Mesmo assim, a imagem permanece uma reta que passa pela origem (propriedade geral de transformações lineares).

Resposta

\displaystyle T_{A}(B_{3})=\{\,t(3,3)\mid t\in[0,1]\,\}=\{(3t,3t)\mid t\in[0,1]\}

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