Seja a matriz abaixo:
Calcule a sua inversa.

Passo 1

Beleza, então o enunciado é: “Dada a matriz
A=3 & -1 & 0-1 & 2 & -10 & -1 & 3,
a gente precisa achar a inversa . Isso é conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre como inverter matrizes quadradas. Para resolver, vamos precisar:
1. Calcular o determinante de .
2. Calcular a matriz dos cofatores (ou matriz adjunta).
3. Dividir a adjunta pelo determinante.

Passo 2

Primeiro a gente lembra que, para uma matriz A^-1 = 1det(A);adj(A), ,
det(A) =3cdotdet!2 & -1-1 & 3 -(-1)cdotdet!-1 & -10 & 3 +0cdot(dots)
onde det2 & -1-1 & 3=2cdot3-(-1)cdot(-1)=6-1=5, é a transposta da matriz de cofatores de det-1 & -10 & 3=-1cdot3 -(-1)cdot0=-3 . Então vamos achar det(A)=3cdot5 -(-1)cdot(-3)=15 - 3=12 . Usando regra de Sarrus ou expansão por cofatores na primeira linha:
Calculando cada menor:
Logo,

Passo 3

Agora vamos montar a matriz de cofatores 2 & -1-1 & 3. Cada cofactor -1 & -10 & 3, onde -1 & 20 & -1 é o menor de -1 & 0-1 & 3 tirando linha 3 & 00 & 3 e coluna 3 & -10 & -1. Calculando todos:
  • -1 & 02 & -1.
  • 3 & 0-1 & -1.
  • 3 & -1-1 & 2.
  • C= 5 & 3 & 1 3 & 9 & 3 1 & 3 & 5 .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
Então a matriz de cofatores é

Passo 4

Aí vem a parte da adjunta (ou adjugate): A^-1=1det(A),adj(A) =112 5 & 3 & 1 3 & 9 & 3 1 & 3 & 5 . Mas já é simétrica, então . Finalmente

Resposta

boxedA^-1=112 5 & 3 & 1 3 & 9 & 3 1 & 3 & 5

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