Seja a matriz abaixo:
Determine os valores singulares.
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente encontrar os valores singulares de
Isso faz parte de Álgebra Linear – especificamente valores singulares, que são definidos a partir da matriz . Para resolver, vamos precisar:
lembrar o que é valor singular e como ele se relaciona com os autovalores de ;
calcular (ou usar alguma propriedade esperta, porque é simétrica);
achar os autovalores daí e tirar raiz quadrada.
Passo 2
O que é valor singular mesmo?
Por definição, os valores singulares de sigmai = raizlambdai(A^T A), são
onde são os autovalores (eigenvalues) da matriz . Eles são sempre números não-negativos.
Passo 3
Notação esperta: como A^T A = A,A = A^2 é simétrica ( sigmai = raizlambdai(A^2) = raizlambdai(A)^2 = |lambdai(A)| ), temos
Nessa situação, os autovalores de são simplesmente os quadrados dos autovalores de . Logo, se chamarmos os autovalores de , então os valores singulares de são
Ou seja, basta achar os autovalores de e pegar seus valores absolutos.
Passo 4
Vamos achar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 via o polinômio característico