Seja a matriz abaixo:
Determine os valores singulares.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente encontrar os valores singulares de
A = 3 & -1 & 0 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 3
Isso faz parte de Álgebra Linear – especificamente valores singulares, que são definidos a partir da matriz . Para resolver, vamos precisar:
  1. lembrar o que é valor singular e como ele se relaciona com os autovalores de ;
  2. calcular (ou usar alguma propriedade esperta, porque é simétrica);
  3. achar os autovalores daí e tirar raiz quadrada.

Passo 2

O que é valor singular mesmo?
Por definição, os valores singulares de sigmai = raizlambdai(A^T A), são
onde são os autovalores (eigenvalues) da matriz . Eles são sempre números não-negativos.

Passo 3

Notação esperta: como A^T A = A,A = A^2 é simétrica ( sigmai = raizlambdai(A^2) = raizlambdai(A)^2 = |lambdai(A)| ), temos
Nessa situação, os autovalores de são simplesmente os quadrados dos autovalores de . Logo, se chamarmos os autovalores de , então os valores singulares de são
Ou seja, basta achar os autovalores de e pegar seus valores absolutos.

Passo 4

Vamos achar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 via o polinômio característico
A - lambda I = 3-lambda & -1 & 0 -1 & 2-lambda & -1 0 & -1 & 3-lambda ,
Escrevendo
det(A - lambda I) = (3-lambda) 2-lambda & -1 [4pt] -1 & 3-lambda -(-1)cdot -1 & -1 [4pt] 0 & 3-lambda
o determinante é
2-lambda & -1 -1 & 3-lambda
Calculemos parte a parte:
  1. -1 & -1 0 & 3-lambda
  2. det(A - lambda I) = (3-lambda)l[(2-lambda)(3-lambda)-1r] -(-1)l[-(3-lambda)r]
Então
det(A - lambda I) = (3-lambda)l[(2-lambda)(3-lambda)-1r] - (3-lambda)
Note que det(A - lambda I) = (3-lambda)l[(2-lambda)(3-lambda)-1 -1r] = (3-lambda)l[(2-lambda)(3-lambda)-2r] . Logo
(2-lambda)(3-lambda)-2 = (6-5lambda+lambda^2)-2 = lambda^2 -5lambda +4
Fatorando det(A - lambda I) = (3-lambda)l(lambda^2 -5lambda +4r) :
Expandindo :
Portanto

Passo 5

Agora sacamos as raízes:
  1. Da fatorização lambda = 5pmraiz25-162 = 5pm32, vem
ou seja e .
2) Já o fator .
Então os autovalores de são , e .

Passo 6

Como dissemos, os valores singulares são sigma1 = 4, sigma2 = 3, sigma3 = 1 . Aqui todos são positivos, então

Resposta

Os valores singulares de boxedsigma1 = 4,;sigma2 = 3,;sigma3 = 1 são

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