Seja a matriz abaixo:
Determine os autovalores e autovetores associados a essa matriz.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente achar os autovalores e autovetores da matriz
A = 3 & -1 & 0 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 3
Conteúdo envolvido:
  1. Definição de autovalor/autovetor (eigenvalue/eigenvector).
  2. Equação característica via determinante .
  3. Resolução de sistemas lineares homogêneos .
O que vamos precisar: calcular , achar as raízes (os ), e depois, pra cada , resolver .

Passo 2

Primeiro, lembra que um autovalor (A - lambda I),x = 0 satisfaz
det(A - lambda I)=0
com . Pra existir solução não-trivial, a gente precisa que
Isso gera o polinômio característico, cujas raízes são os autovalores.

Passo 3

Vamos montar A - lambda I = 3-lambda & -1 & 0 -1 & 2-lambda & -1 0 & -1 & 3-lambda :
det(A - lambda I) = (3-lambda), 2-lambda & -1 -1 & 3-lambda ;-;(-1), -1 & -1 0 & 3-lambda
Agora calculamos o determinante por expansão:
2-lambda & -1 -1 & 3-lambda = (2-lambda)(3-lambda) - (-1)cdot(-1) = (2-lambda)(3-lambda) - 1,
Calculando cada menor:
-1 & -1 0 & 3-lambda = -1,(3-lambda) - 0 = -(3-lambda)
det(A - lambda I) = (3-lambda)l[(2-lambda)(3-lambda) -1r] ;+;(3-lambda)
Logo,

Passo 4

Dentro do colchete:
(2-lambda)(3-lambda) -1 = (6 -5lambda +lambda^2) -1 = lambda^2 -5lambda +5 -1 = lambda^2 -5lambda +4
Então
det(A - lambda I) = (3-lambda)l(lambda^2 -5lambda +4r) = -( lambda-3)(lambda^2 -5lambda +4)
E boxedlambda1 = 1, lambda2 = 3, lambda3 = 4 .
Logo, os autovalores são

Passo 5

Agora, para cada A - I = 2 & -1 & 0 -1 & 1 & -1 0 & -1 & 2 Longrightarrow 2x - y = 0, -x + y - z = 0, -y + 2z = 0 , a gente resolve v1 = 121 .
  1. A - 3I = 0 & -1 & 0 -1 & -1 & -1 0 & -1 & 0 Longrightarrow -y = 0, -x - y - z = 0, -y = 0 :
v2 = 10-1
Da primeira: A - 4I = -1 & -1 & 0 -1 & -2 & -1 0 & -1 & -1 Longrightarrow -x - y = 0, -x - 2y - z = 0, -y - z = 0 . Da segunda: v3 = 1-11 . A terceira confirma isso.
Escolhendo , fica o vetor
  1. :
Da primeira/terceira: . Da segunda: .
Escolhendo , o vetor é
  1. :
Da primeira: . Da terceira: . A segunda confirma.
Escolhendo , temos

Resposta

Autovalores e autovetores de lambda1 &= 1, & v1 &= (1,,2,,1)^T, lambda2 &= 3, & v2 &= (1,,0,,-1)^T, lambda3 &= 4, & v3 &= (1,,-1,,1)^T :

Exercícios relacionados