Seja a matriz abaixo:
Determine os autovalores e autovetores associados a essa matriz.
Determine os autovalores e autovetores associados a essa matriz.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente achar os autovalores e autovetores da matriz
Conteúdo envolvido:
- Definição de autovalor/autovetor (eigenvalue/eigenvector).
- Equação característica via determinante
. - Resolução de sistemas lineares homogêneos
.
O que vamos precisar: calcular
, achar as raízes (os
), e depois, pra cada
, resolver
.
Passo 2
Primeiro, lembra que um autovalor
(A - lambda I),x = 0 satisfaz
com
. Pra existir solução não-trivial, a gente precisa que
Isso gera o polinômio característico, cujas raízes são os autovalores.
Passo 3
Vamos montar
A - lambda I = 3-lambda & -1 & 0 -1 & 2-lambda & -1 0 & -1 & 3-lambda :
Agora calculamos o determinante por expansão:
Calculando cada menor:
Logo,
Passo 4
Dentro do colchete:
Então
E
boxedlambda1 = 1, lambda2 = 3, lambda3 = 4 .
Logo, os autovalores são
Logo, os autovalores são
Passo 5
Agora, para cada
A - I = 2 & -1 & 0 -1 & 1 & -1 0 & -1 & 2 Longrightarrow 2x - y = 0, -x + y - z = 0, -y + 2z = 0 , a gente resolve
v1 = 121 .
-
:A - 3I = 0 & -1 & 0 -1 & -1 & -1 0 & -1 & 0 Longrightarrow -y = 0, -x - y - z = 0, -y = 0
Da primeira:
A - 4I = -1 & -1 & 0 -1 & -2 & -1 0 & -1 & -1 Longrightarrow -x - y = 0, -x - 2y - z = 0, -y - z = 0 . Da segunda:
v3 = 1-11 . A terceira confirma isso.
Escolhendo , fica o vetor
Escolhendo
-
:
Da primeira/terceira:
. Da segunda:
.
Escolhendo , o vetor é
Escolhendo
-
:
Da primeira:
. Da terceira:
. A segunda confirma.
Escolhendo , temos
Escolhendo
Resposta
Autovalores e autovetores de
lambda1 &= 1, & v1 &= (1,,2,,1)^T, lambda2 &= 3, & v2 &= (1,,0,,-1)^T, lambda3 &= 4, & v3 &= (1,,-1,,1)^T :