As informações relevantes são exatamente os elementos da matriz A. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Breve explicação — ideia para calcular \det A:
Usar operações elementares por linhas para transformar A em uma matriz triangular superior.
Operações do tipo R_i \leftarrow R_i + k R_j (adicionar múltiplo de uma linha a outra) não alteram o determinante. Trocas de linhas mudam o sinal do determinante e multiplicar uma linha por \lambda multiplica o determinante por \lambda.
Depois de triangular, \det A é o produto das entradas da diagonal principal (desde que só se usem operações que não mudem o determinante, ou que se compensem as mudanças).
Vou aplicar eliminações por linhas que não alteram o determinante e obter uma matriz triangular.
Passo 3
Aplico as operações seguintes (todas do tipo R_i \leftarrow R_i + k R_j, que não mudam \det):
Nenhuma das operações mudou \det A, então podemos calcular o determinante como o produto das diagonais.
Passo 6
Produto das entradas da diagonal:
\det A = 1 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot 3 = -3.
Portanto o determinante foi encontrado: \det A = -3.
Passo 7
Agora vamos calcular A^{-1}. Explico o método que vou usar:
Usarei eliminação por linhas na forma de Gauss-Jordan sobre a matriz aumentada [A \mid I], transformando A em I; as mesmas operações aplicadas ao bloco da direita transformam I em A^{-1}.
Permaneço apenas com operações elementares por linhas que são invertíveis (troca de linhas, multiplicar linha por constante não nula, ou adicionar múltiplos de outra linha). Aqui evitarei trocar linhas e apenas usarei combinações lineares e multiplicação de linha por constantes, controlando frações.