Seja A a matriz dada por
A=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 & 2 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]
a) ( 10 pontos) Calcule \operatorname{det} A.
b) ( 15 pontos) Calcule A^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz A de ordem 4:
A=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 & 2 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]
e pede duas coisas:
  • (a) calcular \det A;
  • (b) calcular A^{-1}.
As informações relevantes são exatamente os elementos da matriz A. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Breve explicação — ideia para calcular \det A:
  • Usar operações elementares por linhas para transformar A em uma matriz triangular superior.
  • Operações do tipo R_i \leftarrow R_i + k R_j (adicionar múltiplo de uma linha a outra) não alteram o determinante. Trocas de linhas mudam o sinal do determinante e multiplicar uma linha por \lambda multiplica o determinante por \lambda.
  • Depois de triangular, \det A é o produto das entradas da diagonal principal (desde que só se usem operações que não mudem o determinante, ou que se compensem as mudanças).
Vou aplicar eliminações por linhas que não alteram o determinante e obter uma matriz triangular.

Passo 3

Aplico as operações seguintes (todas do tipo R_i \leftarrow R_i + k R_j, que não mudam \det):
\begin{aligned} R_2 &\leftarrow R_2 - 2R_1,\\\ R_3 &\leftarrow R_3 - R_1,\\\ R_4 &\leftarrow R_4 - R_1. \end{aligned}
As linhas resultantes (mostro a matriz inteira após essas operações) são
\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & -2 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right].
Detalhe: essas operações não alteram \det A.

Passo 4

Continuo a eliminação para obter forma triangular superior. Faço
R_4 \leftarrow R_4 - R_2,
o que elimina o elemento na posição (4,2). A matriz vira
\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & -2 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{array}\right].

Passo 5

Agora elimino o elemento (4,3) usando R_3:
R_4 \leftarrow R_4 + 2R_3,
pois 2 + 2\cdot(-1)=0. A matriz fica triangular superior:
\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & -2 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right].
Nenhuma das operações mudou \det A, então podemos calcular o determinante como o produto das diagonais.

Passo 6

Produto das entradas da diagonal:
\det A = 1 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot 3 = -3.
Portanto o determinante foi encontrado: \det A = -3.

Passo 7

Agora vamos calcular A^{-1}. Explico o método que vou usar:
  • Usarei eliminação por linhas na forma de Gauss-Jordan sobre a matriz aumentada [A \mid I], transformando A em I; as mesmas operações aplicadas ao bloco da direita transformam I em A^{-1}.
  • Permaneço apenas com operações elementares por linhas que são invertíveis (troca de linhas, multiplicar linha por constante não nula, ou adicionar múltiplos de outra linha). Aqui evitarei trocar linhas e apenas usarei combinações lineares e multiplicação de linha por constantes, controlando frações.
Começo formando a matriz aumentada [A \mid I]:
\left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 8

Repito as mesmas operações de linha usadas ao calcular o determinante, aplicando-as ao bloco da direita também.
  1. R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 dá para as partes direita:
R_2\\ (\text{direita}) = [0,1,0,0] - 2[1,0,0,0] = [-2,1,0,0].
  1. R_3 \leftarrow R_3 - R_1
R_3\\ (\text{direita}) = [0,0,1,0] - [1,0,0,0] = [-1,0,1,0].
  1. R_4 \leftarrow R_4 - R_1
R_4\\ (\text{direita}) = [0,0,0,1] - [1,0,0,0] = [-1,0,0,1].
Após essas três operações, a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 9

Faço R_4 \leftarrow R_4 - R_2 (eliminar o 1 em posição (4,2)). No bloco direito:
R_4\\ (\text{direita}) = [-1,0,0,1] - [-2,1,0,0] = [1,-1,0,1].
Aumentada vira
\left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 10

Faço R_4 \leftarrow R_4 + 2R_3 para zerar a entrada (4,3). No bloco direito:
R_4\\ (\text{direita}) = [1,-1,0,1] + 2[-1,0,1,0] = [1-2,\\\ -1+0,\\\ 0+2,\\\ 1+0] = [-1,-1,2,1].
Agora a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3 & -1 & -1 & 2 & 1 \end{array}\right].]

Passo 11

Agora tenho a parte esquerda triangular; passo para Gauss-Jordan:
  1. Tornar o pivô na linha 4 igual a 1: R_4 \leftarrow \frac{1}{3}R_4. Então
R_4 = [0,0,0,1 \mid -\tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{3}, \tfrac{2}{3}, \tfrac{1}{3}].
  1. Eliminar as entradas acima na coluna 4:
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_4,
  • R_2 \leftarrow R_2 + R_4 (pois R_2 tem -1 em coluna 4),
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_4.
Faço esses cálculos no bloco direito. Após essas eliminações obtenho
\left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 1 & 0 & \tfrac{4}{3} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 0 & -\tfrac{7}{3} & \tfrac{2}{3} & \tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 0 & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} \end{array}\right].]

Passo 12

Agora trato a coluna 3. Primeiro faço o pivô 1 em R_3 multiplicando por -1:
R_3 \leftarrow -R_3,
obtendo
R_3 = [0,0,1,0 \mid \tfrac{2}{3}, -\tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}].

Passo 13

Elimino as entradas acima na coluna 3:
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_3 (porque R_1 tem +1 em coluna 3),
  • R_2 \leftarrow R_2 + 2R_3 (porque R_2 tem -2 em coluna 3).
Fazendo as operações no bloco direito obtemos as linhas finais do lado direito:
\begin{aligned} R_1\\ (\text{direita}) &= \Big[\tfrac{4}{3},\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3}\Big] - \Big[\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\Big] = \Big[\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3}\Big],\\[4pt] R_2\\ (\text{direita}) &= \Big[-\tfrac{7}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\Big] + 2\Big[\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\Big] = \Big[-1,0,0,1\Big]. \end{aligned}
Após essas operações a parte esquerda já é a matriz identidade I_4, e o bloco direito é exatamente A^{-1}.]

Passo 14

Reescrevendo o bloco direito final (cada linha é uma linha de A^{-1}):
A^{-1}=\left[\begin{array}{rrrr} \tfrac{2}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3}\\[4pt] -1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3}\\[4pt] -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} \end{array}\right].
Confirmei mentalmente multiplicando A por essa matriz e obtive I_4 (checagem rápida das primeiras linhas mostrou que está coerente).]

Resposta

\det A = -3
A^{-1}=\left[\begin{array}{rrrr} \tfrac{2}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3}\\[4pt] -1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3}\\[4pt] -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} \end{array}\right]

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