Seja A uma matriz inversível de ordem n times n. Mostre que, para qualquer matriz B de ordem m times n, existe uma matriz X de ordem m times n tal que X cdot A=B.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, dada matriz invertível A de ordem ntimes n e qualquer matriz B de ordem mtimes n, uma matriz X de ordem mtimes n tal que
X,A = B
Para isso, vamos usar a propriedade de que toda matriz invertível A possui inversa A^-1 satisfazendo A,A^-1=A^-1A=In.

Passo 2

Multiplique a equação X,A = B à direita por A^-1:
X,A,A^-1 = B,A^-1
Como A,A^-1=In, isso dá
X = B,A^-1
Note que B,A^-1 é de ordem mtimes n e verifica
X,A = (B,A^-1),A = B,(A^-1A) = B,In = B

Resposta

A escolha
X = B,A^-1
satisfaz X,A=B.

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