Considere a seguinte matriz:
A=(ccc 1 & 0 & 0 -5 & 0 & 1 0 & -2 & 0 )
(a) Encontre matrizes elementares tais que Ek cdots E1 A=I.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar matrizes elementares E1,E2,dots,Ek cuja multiplicação à esquerda transforma A na identidade, ou seja
Ekcdots E2E1A = I
O conteúdo é usar operações elementares de linha (que correspondem a multiplicações por matrizes elementares) para reduzir A a I.

Passo 2

Primeiro eliminamos o -5 em row 2, col 1) somando 5 vezes a linha 1 à linha 2. A operação
R2>=ts R2+5,R1
corresponde à matriz elementar
E1 = 1 & 0 & 0 5 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ,
pois E1A faz exatamente essa combinação de linhas.

Passo 3

Após E1A temos
E1A = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & -2 & 0
Agora queremos pivotar na coluna 2, mas essa coluna tem o único não-zero em row 3). Então trocamos as linhas 2 e 3:
R2rightarrow R3
Isso corresponde à matriz elementar
E2 = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 ,
e E2(E1A) passa a ter um pivô não-zero na posição (2,2).

Passo 4

Depois de E2E1A obtemos
E2E1A = 1 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & 1
Basta agora escalar a linha 2 por -tfrac12 para transformar -2 em 1:
R2>=ts -tfrac12,R2
A matriz elementar correspondente é
E3 = 1 & 0 & 0 0 & -tfrac12 & 0 0 & 0 & 1

Passo 5

Aplicando todas as operações em sequência, chegamos a
E3E2E1A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = I

Resposta

As matrizes elementares que satisfazem E3E2E1A=I são
E1=1&0&05&1&00&0&1, E2=1&0&00&0&10&1&0, E3=1&0&00&-tfrac12&00&0&1

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