Seja A uma matriz invertível. Prove que, para qualquer escalar \lambda não-nulo,
(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda} A^{-1}

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz invertível e \lambda é um escalar não–nulo. Queremos mostrar que a inversa de \lambda A é \tfrac{1}{\lambda}A^{-1}. Vamos usar a definição de inversa de matriz (uma matriz B é inversa de M se MB=BM=I) e a propriedade de como escalar se comporta em produto de matrizes.

Passo 2

Seja
B = \tfrac{1}{\lambda}\,A^{-1}.
Para provar que B é de fato (\lambda A)^{-1}, basta verificar que
(\lambda A)\,B = I \quad\text{e}\quad B\,(\lambda A) = I.

Passo 3

Calculemos primeiro
(\lambda A)\bigl(\tfrac{1}{\lambda}A^{-1}\bigr) = \bigl(\lambda\cdot\tfrac{1}{\lambda}\bigr)\,(A\,A^{-1}) = 1\cdot I = I.

Passo 4

Agora o produto na outra ordem:
\bigl(\tfrac{1}{\lambda}A^{-1}\bigr)(\lambda A) = \bigl(\tfrac{1}{\lambda}\cdot\lambda\bigr)\,(A^{-1}A) = 1\cdot I = I.
Portanto B satisfaz ambas as condições de inversa.

Passo 5

Pela unicidade da inversa de uma matriz, concluímos que
(\lambda A)^{-1} = \tfrac{1}{\lambda}\,A^{-1}.

Resposta

(\lambda A)^{-1} = \frac{1}{\lambda}\,A^{-1}.

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