Resolva os seguintes sistemas:
S_{1}=\left\{\begin{array}{c}x+2 y-z=2 \\\\ 2 x-y+3 z=9 \\\\ 3 x+3 y-2 z=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
S_{1}:\begin{cases} x+2y-z=2,\\\\ 2x-y+3z=9,\\\\ 3x+3y-2z=3, \end{cases}
usando o método de eliminação de variáveis, típico de álgebra linear para sistemas 3\times3.

Passo 2

Começamos montando a forma ampliada e zeramos x em R_{2} e R_{3} usando R_{2}\gets R_{2}-2R_{1} e R_{3}\gets R_{3}-3R_{1}:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2 \\\\ 2 & -1 & 3 & 9 \\\\ 3 & 3 & -2 & 3 \end{array}\right] \;\xrightarrow{R_{2}-2R_{1},\;R_{3}-3R_{1}}\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2 \\\\ 0 & -5 & 5 & 5 \\\\ 0 & -3 & 1 & -3 \end{array}\right]
Isso corresponde ao sistema triangular
\begin{cases} -5y+5z=5,\\\\ -3y+z=-3. \end{cases}

Passo 3

Da primeira dessas duas equações dividimos por 5 para simplificar:
-y+z=1.
Chamemos isso de (E2) e a outra de (E3):
\text{(E2)}:-y+z=1,\qquad \text{(E3)}:-3y+z=-3.
Subtraindo (E2) de (E3) elimina z:
(-3y+z)-(-y+z)=-3-1\;\Longrightarrow\;-2y=-4\;\Longrightarrow\;y=2.
Em seguida, em (E2) vem
-z+y=1\;\Longrightarrow\; -2+z=1\;\Longrightarrow\;z=3.

Passo 4

Por fim, voltamos à primeira equação original
x+2y-z=2
e substituímos y=2 e z=3:
x+2\cdot2-3=2\;\Longrightarrow\;x+4-3=2\;\Longrightarrow\;x=1.

Resposta

\,x=1,\;y=2,\;z=3.

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